雪花大都是六角形的，每片雪花都是一幅极其精美的图案，连艺术家都赞叹不止。

像达·芬奇这样的艺术家往往精通数学，反之，好多数学家也喜欢艺术。

1904年，瑞典数学家尼尔斯·法比安·海里格·冯·科赫（Niels Fabian Helge von Koch）就创造一种神奇的曲线，因为形态跟雪花很像，所以也称为科赫雪花。

他先画一个等边三角形；

然后把每边分成三等分,再在中间的三分之一部分向外各画一个较小的等边三角形,并抹去无用的线段,这样就画出了一个六角星。

再在六角星的每条边上用刚才的办法向形外画出更小的等边三角形,如此重复。

于是曲线变得越来越长,慢慢就开始像一片雪花了。

科赫雪花创造的关键在于“重复类似的方法”，其本质就是一种“自相似”，涉及的便是近几十年热门数学分支——分形几何学。

早在17世纪，莱布尼茨就思考过这样的自相似，两个世纪后的1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯在皇家普鲁士科学院第一次给出了分形的定义——是一种具有处处连续，但又处处不可微等反直觉性质的函数图形。

1883年，康托尔直接给出一个著名的例子：康托尔集。

他取一条线段，把它中间的1/3去掉得到两个分开的线段，再对剩下的两段进行相同的操作，得到4个线段，这样重复进行下去直到无穷，最后得到了图形集合——康托尔集，形似道家的八卦。

1904年，海里格·冯·科赫给出了更加几何化的定义，并附上了他的手绘图形——科赫雪花。

分形能够真正成为一个数学分支，里程碑的人物当数本华·曼德博（Benoit B. Mandelbrot，1924年11月20日－2010年10月14日）——一个“不安分守己”的数学家。

曼德博出生于波兰，在法国长大，先后获得了巴黎工学院理科硕士和巴黎大学数学博士学位，后来移居美国。他博学多才，教授过经济学、管理学、数学，是一个爱思索“旁门左道”问题的人。做事也特立独行，所以并不受数学界欢迎，甚至有人调侃他说：“曼德博可以是这个家、那个家，但他唯独不是个数学家！”。

然而就是这位不是“数学家”的数学家，1973年，在法兰西学院讲课期间提出了分形几何的思路。

曼德博说：“云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的。”绝大部分的自然物无法用整形描述，分形才是自然界中的普遍现象。

因为分形没有任何可靠的形状，既不是三角形、长方形，也不是直线、抛物线。人们无法把分形归入当时的数学模型，这对于一直信奉“数学可以解释宇宙万物”的数学家们来说这简直是一场噩梦。为了维护数学的完美性，数学家拒绝承认分形，认为分形是自然界的“怪物”，甚至“根本是不存在的”。

“离经叛道”的曼德博！

每一次数学的创造性突破，故事总是这么雷同！

但曼德博用他的经典案例说明了分形的存在——英国的海岸线有多长？

曼德博指出，假如你乘一架飞机在万米的高空沿海岸线飞行测量，同时不断拍摄海岸照片，然后按适当的比例尺并计算这些照片显示的海岸总长度。

如果我们用200千米的尺去测量英国海岸线，得出的结论是，英国海岸线长为2300千米，但是这时候许多小海湾和小海峡被忽略了。

如果我们用100千米的尺去测量时，我们发现其实英国海岸线有更多的弯曲褶皱，这时候我们得到英国海岸线为2800千米，如果我们用50千米的尺去测量，我们又发现更精细的结构，这时英国海岸线长度为3500千米。用不同的尺度去测量，结果完全不一样。当测量单位不断变为纳米甚至更小时，所得的长度将无限增大。看来，长度已不能正确概括海岸线这类不规则图形的特征了。

就如让一只蜗牛沿着中国海岸线爬行，蜗牛感受到的海岸线长度，一定不是百度上查阅的18400km，而是它的无数倍。

类似后来人们提出的，一片雪花比地球的周长更长。

海岸线虽然很复杂，却有一个重要的性质——自相似，海岸线便是分形的一种，它客观存在，我们需要研究这样的几何。

之后，数学家们发现，分形并非全是噩梦，而是数学还不够完美。它只是不符合传统几何学的规则，但可以纳入非线性科学中加以研究。

一门新的数学学科——分形几何学，得以确认。

对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义。

据曼德博介绍，“fractal”源于拉丁文形容词fractus。1975年夏天，他在冥思苦想之余偶翻他儿子的拉丁文字典，突然想到，拉丁文动词frangere（“破碎”、“产生无规碎片”），与英文的fraction（“碎片”、“分数”）及fragment（“碎片”）具有相同的词根，于是，他取拉丁词之头，撷英文之尾，fractal一词就此诞生，本意是不规则的、破碎的、分数的，故称分形。

一花一世界，一树一菩提。

许多人喜欢用这样的话语来形容分形的无处不在，雪花、海岸、树木、群山、云朵……，都是分形。

群山

云海

星空

海浪

树木

多肉

大丽花

西蓝花

宝塔菜

蕨叶

触目皆有分形，所以，分形几何学，又被称为是“大自然的几何学”。

某种意义上，分，也有分维的涵义。

我们通常认为的维数，就像达芬奇认为的那样，都是整数：点是0维、线是1维、面是2维、体是3维。

但分形维数却很难用这样的整数维描述。如科赫曲线，它们是占有面积的，和欧氏几何假设的直线或者曲线只有长度没有面积矛盾，用线段度量，结果会是无穷大，而用平面去度量，结果为0，所以科赫曲线的维数应介于介于1维和2维之间。由于科赫曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的小曲线组成，那么人们认为它的维数（分维数）d=log(4)/log(3)=1.26185950714...

确定了维数，定量地分析像科赫雪花、海岸线这样的图形就成了可能，看来，分形中引入分数维度是完全必要的。

人类的智慧是无穷的！

不断被认识后的分形，在人们的努力下，已不再局限于数学与自然了。现今的世界，似乎每一个领域都与分形扯上了关系，天文、地理、生物、医学、音乐、图像、材料、语言、经济，我偶尔看到股市行情分析也有了分形的门派。

随着计算机的高速发展，分形学发展非常迅速，分形的重要特性——自相似，为计算机不断的迭代提供了依托。

利用分形原理，数学公式迭代而来的曲线。

阿基米德线与圆线

勾股定理的证法迭代而来的勾股树。

艺术家用分形原理创作作品。

许多看上去美轮美奂的图片，也许就是分形原理绘制的图案。

人们利用分形模拟树枝生长变化。

用真菌选出道路的最短路径。

先在培养皿里模拟好某城市的道路布局，然后在一处放置一种真菌，另一处放置真菌喜欢的食物，这种真菌就会朝食物的方向生长，而最终菌丝最密集的那条线路，就是错综复杂的交通线路中两者之间路程最短的线路，一张完美的交通规划图因分形而来！

利用分形进行网格均匀化。

有人说没有分形就没有卡梅隆的佳片《阿凡达》，原来梦工厂们的3D动画都是利用分形原理而制作。

怪不的团队小伙伴说我们的二维动画比许多三维动画更费时费力，是分形作祟！

接下来看一段3D动画制作的视频吧！