编辑丨古月居
1. 控制原理

1.1 开环与闭环系统

下面是开环系统与闭环系统的示例。以给水壶加热的过程举例，开环系统只是简单的利用开关信号控制水壶的加热。

而下图的闭环控制系统中，将添加温度传感器所测量的信号作为系统的反馈量。设计控制系统的核心就是通过对闭环系统的控制器进行调整，利用反馈量信号，完成闭环的稳定控制。

同时，这就是反馈的过程。


简单的开环系统有如下描述：（这里以流体力学的公式作为举例）

添加控制器D(s)，并增加测量H(s)，构成如下闭环系统。

但是在分析闭环系统的稳定性时，一般的做法是将其转换成为开环系统，并将新构造的开环系统传递函数作为研究对象，分析系统的稳定性。


1.2 稳定性分析


对于一个系统，如果没有稳定性的先决条件，那么其他的（稳态误差分析、瞬态误差分析）将无从说起。稳定性：传递函数极点在复平面的左半边。（横坐标为极点，纵坐标为零点）

所以对于系统稳定性的讨论，实际上是在分析输入为单位冲激函数时，系统输出的传递函数。最后观察系统输出随时间变化的曲线是否到达稳定的位置。

零点和极点的定义如下：


分析为什么极点为负的，系统是稳定的：


下面这个图要更加直观：


那么我们如何设计控制器？就是将最终的传递函数的极点在左边平面，叫做极点配置。现代控制理论中，研究的是状态矩阵的特征值，对应的就是传递函数的极点。

1.3 一起燃烧卡路里/科学减肥（系统分析实例_数学建模部分）


框图表示如下：


设计比例控制器（最为简单的控制器）如下：
那么如何设计该控制器，让最终的系统趋向于稳定状态呢？（也就是说传递函数的极点在左半边平面）


学习控制理论一定要从微分方程入手，弄清楚微分方程与传递函数之间的关系就会容易理解很多。

通过对于比例控制器的分析之后发现，单纯的比例控制最终产生稳态误差。


1.4 终值定理与稳态误差

下面讨论的系统是存在参考信号的系统，类似于下图。终值定理，用来算系统输出的极限的工具。（FVT）


下图解释了弹簧阻尼系统的传递函数，还有在冲激响应下系统的终值定理的使用方式。


这里需要注意的是第二种情况，代表了输入参考信号为c时（相当于r）的情况。

条件如下：


最终求出来的极限值经过运算就是系统的稳态误差。


1）比例控制

举例说明。下面是一个最为简单的一阶系统，采用的控制方式是比例控制。


利用定理分析稳态误差如下：


这里说明了比例控制的局限性，必须采用更加实用性的控制算法。比例控制充法消除稳态误差

2）比例积分控制


并有下面变换方式：


通过引入一个积分信号，让本来的一阶系统变成一个二阶系统。

1.5 根轨迹

再回到弹簧系统，是一个二阶系统。


对于高阶系统不过也是几个一阶系统的叠加，如下：


这一节评估了根的位置对于控制器的影响。


1.6 PID控制

比例控制

微分控制：调节水温变化的速度，

积分控制：误差的累计量

注意：

比例积分控制没有单独的比例控制收敛快

微分控制解决了超调量问题

微分控制的问题是初始状态下的输入值很大

同时，微分控制的控制量受到测量误差的影响非常大。他对噪声非常敏感


2. 数学工具

2.1 拉普拉斯逆变换


2.2 矩阵的性质

矩阵有下面的性质，现代控制理论的分析中常常会用到。

2.3 bode图

给信号滤波的过程中，需要注意幅频响应。如果在带通范围内不是1的话，就会改变信号的幅值，就会改变最终加速度输出的信号。

另外，上面的图就是bode图，但是是基于离散系统的。

如何去理解bode图？

bode图是针对于传递函数而言的，用在连续系统上。（因为控制系统常常用传递函数来表示。）

%% 这个是正解b = [1,2,3];a = [2,1,3];figure;bode(b,a)% [h1 , ftp] = freqs(b,a);mag = 20*log10(abs(h1));    % get magnitude of spectrum in dBphase = angle(h1)/pi*180;     % get phase in deg.figuresemilogx(ftp,mag)xlabel('Frequency (Hz)'),ylabel('Magnitude (dB)')

（这样描述是和真实系统不一致的，具体参考滤波器性质）


总结来说有以下几点：

振幅的比较用10log10就行，但是能量的比较需要20log10


振幅与功率/能量之间的关系如下：


从一个实例出发理解bode图

对于系统传递函数：
分析频率响应：
低频：w<<a< li="">
截止频率：w=a

这个-3dB很重要，表达的是输出的振幅是输入的振幅的sqrt(1/2)，能量是一半的关系。

高频：w>>a


bode图如下：

bode图的作用是什么？

实际上，我们可以将级联系统的子系统bode图进行累加，那么我们就得到了新的级联系统的真正的bode图了。原理如上。

2.4 单位冲激函数



三. 现代控制原理串讲

1. 现代控制理论概要

首先要了解一个简单的弹簧阻尼模型，作为控制的对象，其满足胡克定律。
描述现代控制理论中的系统，最基础的当然是状态空间表示法：


当然，通过拉普拉斯变换可以转换成下面的形式，控制对象是弹簧阻尼块。


其中有一条重要的信息，实际上矩阵A的特征值就是G(s)的极点，决定了系统的稳定性。上面的右式时通用的。

去分析一个系统，主要需要考虑以下几个重要的性质。

（那么对于自动控制，只需要极点就够了）

可控性


李雅普诺夫稳定性：确定系统的稳定状态，控制系统可以满足数学的条件。在一阶系统中，常常用极点分析的方法去观察稳定性。现代控制理论中常用到的分析系统的方法就是去找系统的V函数，得到最后是不是能够

可观性：状态观测器。系统状态加入不可直接测量，那么就需要通过输出和控制量去估计状态。状态观测器需要达到一个收敛的状态。建立观测器时，实际上是建立一个反馈系统，使得误差等于0。（这里是不是有误差状态量的部分？）

对于可观测性，需要问一个问题：是不是所有系统都是可测的？借鉴可控性的推导，有下面的结论：


2. 怎样去分析一个状态空间方程系统呢？

实际上看到设计控制器就是去配置特征值的过程。这里的特征值有点像自动控制原理中的极点的概念，决定了系统随时间是收敛的，还是振动的，还是逼近于无穷的。

下面是对于一个控制系统的分析过程，利用配置特征值的方法可以确定比例控制的控制系数u与状态量x之间的关系。



四. 最后的一些思考

轨迹跟踪与制导之间的关系

轨迹跟踪的目标是使状态和参考状态的误差保持在0附近。举例，对深空飞行器而言，按照轨迹优化+轨迹跟踪这两个步骤实现控制。

参考轨迹是人为设计的，可以是全局最优的，也可以是次优的。然后把跟踪误差保持在0附近，这也有一套控制律，比如LQR轨迹跟踪器。

状态控制按照给定的控制律，在航天器轨迹控制中叫做制导；在姿态控制中好像没见过先设计好姿态运动规律的，都是即时控制。

制导律必须全局渐进稳定，适用于高动态的环境，比如空空导弹采用比例导引法。

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