日期：
2023-03-01 04:03:09
来源：和乐数学收集 编辑：歌之忆
如果在微博上来一次随机走动式的数学漫游，那么我想把坐标原点定为笛卡尔。比起那些严密得让你喘不过气来的数学理论，更有意思的事情，倒是去拜访那些创造了数学的人们，去回望那滋养了数学的历史情境。 1笛卡尔Descartes 17世纪的欧洲，古希腊数学再度复兴，欧几里得的《几何原本》和丢番图的《算术》风靡一时，数学成为知识界的中心话题之一，连城市广场也经常张贴数学难题征解。正是在《算术》一书的空白处，律师费马写下了著名的费马大定理。而笛卡尔致力于把古希腊的几何学与新兴的代数学结合起来，建立了解析几何学。 笛卡尔开创的欧陆理性主义，也影响到一代杰出学者帕斯卡（Blaise Pascal），此君16岁就发现了帕斯卡定理。启蒙运动时期的学者，并不行止于空谈，帕斯卡还发明了最早的加法器。帕斯卡认为人同时需要随心灵而走的“纤细精神”和随理性而走的“几何精神”——“人是一支芦苇，但他是一支会思想的芦苇”。 当代计算机学者沃思（Niklaus Wirth）十分崇拜帕斯卡。他发明了著名的结构化程序设计语言——Pascal，应用极为广泛。因其简洁、结构化的特点，成为信息学国际奥林匹克竞赛使用最广泛的编程语言之一。沃思教授获得了1984年图灵奖，其得奖贡献就是他的一句经典名言：“算法+数据结构=程序。” 2朱利亚Julia 1912年庞加莱去世，数年之后第一次世界大战爆发，类似朱利亚的才俊们被送上前线，法国数学错失了整整一代人。单靠函数论强撑门面，根本无法抗衡德国。而阿达玛（Jacques Hadamard）和他的继任者朱利亚主持法兰西学院数学讨论班，坚持研习先进数学。为法兰西带来巨大光荣的布尔巴基，早期骨干全出自该讨论班。 3阿达玛Hadamard 执掌法兰西学院数学部的阿达玛，自幼各门功课表现出色——唯独数学一塌糊涂！七年级之后他遇上一位优秀的数学老师，渐露头角。法国崇尚精英体制，其高等教育的两张王牌是巴黎高等师范与巴黎综合理工学院。而阿达玛在这两所顶尖学府的入学考试中都名列前茅，最终选择了巴黎高师。 阿达玛对中国人民有着深厚的情意——1936年他在国立清华大学数学系任教，同一时期，维纳在电机系任教。自清华起，阿达玛开始培养中国偏微分方程的先驱者吴新谋。他还和维纳分别将华罗庚介绍给了维诺格拉朵夫和哈代。阿达玛1963年逝世，其法文著作《偏微分方程论》
于1964年在中国出版。 阿达玛名下弟子寥寥，却威震天下。先说安德烈•韦伊（André Weil），20世纪最伟大的数学全才之一，布尔巴基的领袖，毕生两度挽法国数学于狂澜，荣享至尊；再说莱维（Pail Pierre. Lévy），Lévy过程早已是随机过程的标准内容，其学生孟德尔布罗特（BenoîtB. Mandelbrot）是分形几何之父、Matheron参与发明数学形态学、Loève则以统计上的KL变换闻名。 4孟德尔布罗特Mandelbrot 格兰茨向孟德尔布罗特就分形的首创人与数学意义发起质疑，煞是吸引眼球。攻方是多复变权威，师出调和分析大师Stein，看今日他名震天下的师弟陶哲轩，可想其身手该是不凡。而守方乃概率大师莱维之徒，绝非等闲之辈。胜负姑且不论，这场论战告诫世人：数学追求严肃的理论，而不是艺术炫图。 孟德尔布罗特的一生真够“分形”的。年幼从波兰逃难巴黎，凭天赋闯入高师，又转学巴黎高工。到美国加州理工拿了个航空学硕士，回巴黎大学拿到数学博士。冯•诺伊曼请他到高等研究所干过，在哈佛做过客座教授，在IBM工作了35年。落脚耶鲁任教12年之后，创下了75岁高龄才拿到终身教授（tenure）的纪录！ 以分形成名的孟德尔布罗特，早在上个世纪50年代就开始琢磨股市，他发现了股市数据噪声并不服从高斯分布，而是服从长尾的Lévy分布。在金融领域，长尾意味着更高风险。这类体现“幂律”的还包括经常用于衡量财富分布的Pareto分布。“分形之父”也被称作“长尾分布之父”。 享有“长尾分布之父”与“分形之父”两项美誉的孟德尔布罗特，少年投靠他的数学家叔叔Mandelbrojt，而后成为概率论大师莱维的学生。这两位老师都是阿达玛的博士。Lévy分布成就了他的第一项美誉，Lévy的C-曲线又近乎于分形。面对这样一群优秀的犹太学者，你会有多羡慕他们的学术传承！ 著名科学作家Gleick在《混沌》一书中大幅介绍了孟德尔布罗特的分形。虽然理论数学家格兰茨强调：Fatou和朱利亚在复动力系统中的工作才是真正出色的数学。但赢得沃尔夫奖的孟德尔布罗特对得起“分形之父”的桂冠。他2010年逝世后，法国总统萨科奇称道他拥有强大而富有创造力的智慧。 作为数学家的孟德尔布罗特未必算第一流的，但绝对是特立独行的。他直觉思维如此发达，从达利的画作看到的是自相似性。IBM公司不但给了他自由探索的空间，而且他还能利用IBM强大的计算机。分形的研究，繁盛于计算机时代，还为数学联接艺术打通了一座新的桥梁。 被格兰茨推崇备至的Fatou和朱利亚，当之无愧是法国函数论学派在复动力系统的杰出代表。在第一次世界大战后的低谷期，正是Fatou、朱利亚和Montel（正规族理论）这批杰出的函数论人才，为法国数学储备了实力。不过，貌似抽象的函数论在信息社会中扮演的极为关键的角色，却长期不为公众所知。 5佩利Paley 要理解函数论在现代电信中的基本作用，不得不提一个超级数学天才、剑桥大学研究生佩利（Raymond Paley）。此君身出伊顿公学，23岁即为剑桥大学三一学院院士，年轻的他和世界顶级数学名家Zygmund、维纳、波利亚、里特尔伍德合作发表过论文。但天妒英才，1933年他在加拿大阿尔伯特滑雪蒙难于雪崩，时年26岁。 擅于从工程角度提问的维纳邀请攻无不克的佩利到MIT合作研究。维纳提的问题是：电子工程中，滤波器在截止频率附近不可过于尖锐，如何在数学上解释？在剑桥受教于里特尔伍德的佩利，以无比精湛的技巧建立了极为深刻的Paley-Wiener定理，其难度之高、涉及面之广，令人惊讶。 一个普通的信号，其形式可以相当随意，可一旦辨识出它有某种解析结构，丰富的数学工具就可以发威。能在傅立叶分析和函数论之间架起一座如此美丽的桥梁，把电子工程的疑问回答得如此干净利落，正是Paley-Wiener定理的威力所在。可这种深刻的洞察力，已经远离当代教育的平庸追求了。 电工电子学一直向数学提出挑战性的问题。比如，如何对Heavside函数求导、给量子力学的Dirac函数确立严密的数学基础？历史上曾经有不少人研究过“运算微积”，而最终法国数学家Schwartz以广义函数论赢得了菲尔兹奖，他还建立了Paley-Wiener-Schwartz定理，成为偏微分方程的核心定理之一。 年仅26岁的佩利（Paley），受邀美国数学会1934年度报告（每年不过1-3人），请看历年报告人包括了冯•诺伊曼、Whitney、Zygmund、Doob、陈省身、Kac、丘成桐、威腾（Witten）、Wiles，再回想Littlewood-Paley分解、Paley图、Paley-Wiener积分，人们痛惜英国失去了一颗天赋异禀却酷爱冒险的数学巨星。 佩利之死，让维纳难以释怀，哀叹英国就此失去了未来数学的台柱，他称佩利是伟大的传统的英国古典学者。15世纪以来致力于打造精英的伊顿公学，不仅将佩利培养成谦谦君子，更练就了他的粗犷好勇，外加导师里特尔伍德是位滑雪健将。这一切，令加拿大滑雪胜地班夫的禁滑标志，刺激了一场生命豪赌。 维纳和佩利常泡在MIT的旧办公室做推演。每当维纳提出一个难题，两人一筹莫展之时，佩利就会对维纳嚷嚷：不行啊！太难啦！搞不定啊！周末我得去纽约泡泡妞、喝喝酒，放松放松才能接着整啊！而每到周一，佩利总是能把完整的证明带来。这强悍的硬分析功夫，是被一流高手里特尔伍德严格训练出来的。 6里特尔伍德Littlewood 里特尔伍德写过一本精彩的《一个数学家的札记》。这本150页的小书，仿佛一个老戏骨在出神入化地表演数学的无穷奥妙。书中，他甚至还调侃了一下他的老搭档。某次他让哈代找出他们合写的论文中的一个错，可怜的哈代查了半天一无所获。谜底却是哈代的名字被错印了一个逗号：G,H. Hardy。 里特尔伍德的这本《一个数学家的札记》，颇有毛姆的笔风。看上去都是细枝末节的细小玩意，可真正的人生不就是这样享受细节之美吗？一个数学家的常态，不就是像孩子们一样享受做游戏的快乐吗？他的文笔有多简练？看刚才的问题：提问2行，解答5行（含公式2个），图形1个。 但凡出自学术大师，哪怕是闲暇之作，大多像是武林秘籍。更何况是分析大师里特尔伍德，其札记既谈了牛顿、费马、拉玛努金，也谈数学教育和各种八卦。到80年代，图论和泛函分析双料权威Bollobás搜集了大量新的材料，重新编辑出版。他甚至挖掘出精彩的研究素材，其中有个令人称奇的故事。 这段传奇，要从赫利（E. Helly）谈起。此君很早就证明了占据泛函分析中心地位的Hahn-Banach定理的一个深刻的特例。赫利身出维也纳大学，曾随希尔伯特一干人马做研究，但在第一次世界大战中不幸被枪击中，被俄军俘虏到西伯利亚战俘营。一战结束后，又逢俄国内战爆发，他辗转日本才回到维也纳。 赫利伤在肺部，落下终生病根。战俘营里的这位犹太数学家遇上一位年轻的匈牙利战俘、原在布达佩斯念土木工程的军官拉都（Tibor Radó）。在西伯利亚战俘营，数学家向土木工程大学生传授起了数学。赫利该不会遗憾，他去世7年之后，他曾在战俘营培养的拉都走上了1950年世界数学家大会，做起了报告。 一战结束后，拉都乘乱逃出西伯利亚战俘营。千里北上辗转到北极地区，在爱斯基摩人的关爱下，最终逃回到布达佩斯。经赫利调教后的他研究起数学。经历生死逃亡的他，提出了一个问题：圆盘内有个狮子和一个人，他们最快的速度一样，人能否逃脱狮子的追赶？这就是有名的“狮与人”问题。 7拉都Radó 拉都思考数学问题的方式极其生动而形象。比如他提出的“狮子与人”的追逐问题，引出了里特尔伍德乃至Bollobás的深入研究。你可以在Bollobás编辑的里特尔伍德数学札记里找到踪迹。拉都更为有名的工作，则是在图灵机的停机问题上，提出了“忙碌的河狸”函数，看他总爱直观！ 似乎只在电影里才会出现的传奇情节，全在拉都身上真实地发生了：西伯利亚战俘营、北极荒岛、爱斯基摩人、千里逃亡、登上哈佛和世界数学家大会的讲坛。从战争的生死劫难中，宛如逃脱狮子追赶那样逃过一命的拉都，60年代抛出“忙碌的河狸”的开创性论文，全文仅只引用了唯一一篇文献，而论文发表在贝尔系统内部的技术期刊Bell System Technical Journal上。1948年香农那篇开创信息论和通信理论的历史性巨作也发表在此。 说到期刊，传闻维纳曾将不苟言笑的拉都恶搞过一回。维纳杜撰了一份期刊《数学琐屑》，还杜撰了一堆狂搞笑的论文标题，如“费马大定理：素数为偶数的情形”、“变态数学家的正态分布”。特别题献要“纪念”拉都，还一本正经地宣布因受到国家肃静基金会的及时资助，决定永不出版该刊！ 像维纳杜撰《数学琐屑》来哄拉都开心之类令人忍俊不禁的故事，在智者身上数不胜数。大物理学家玻尔主帅的哥本哈根学派，搞过《诙谐物理学期刊》，登的是诗歌和八卦——比如玻尔某次很客气地在会议上评价某人的报告“很有趣”。散会后，老头儿对同事说，刚才的报告“纯粹一派胡言”。 作者简介：歌之忆（笔名），生于六十年代，数学博士，任电子信息专业教授十年有余。现阶段在网络数据分析与图像识别等领域主持技术研发。 如需转载请联系：support@global-sci.org