1 无穷小量

主要考查无穷小量的比阶，出题的想法来自2022年数二、数三真题，比真题多考了一个等价无穷小量的传递性。

2 幂级数与一元微分综合

比较新颖的将幂级数与一元微分的知识综合的小题，四个选项考查到比较常见的幂级数展开式以及比较简单的利用逐项求导求和函数。

3 反常积分审敛

比较常规的反常积分审敛，因为存在两个可能瑕点，所以需要拆开积分讨论。与本题比较相似的还有数一第三套的第2题。

4 常系数线性微分方程

将常系数线性微分方程求解与分段函数结合在一起的选择题，关键是要可导意味着左、右导数相等，从而由在的性质得到在的性质。

5 正交矩阵与线性相关

考查正交矩阵与线性相关的一些综合，可能有一定的难度。在数一第一套中也有一道与本题同源的题。在看完本题的分析后，读者也可以试试下面这道题。

题外话：本题有一定的几何背景，不过考研同学可能对这一性质并不熟悉，我们出题的本意也只是说让大家可以利用现有的知识去思考分析，而不是背诵结论。

正交矩阵对应正交变换，包括恒等变换，反射，旋转等。对3维空间而言，正交变换就有恒等（特征值全1），反射（特征值1，1，-1)，绕轴旋转180度（特征值1，-1，-1），轴反射+旋转旋转180度（特征值全−1），绕轴旋转（仅有一个特征值1的特征向量），轴反射+旋转（仅有一个特征值−1的特征向量）。

根据本题的条件，，说明没有−1这个特征值，，线性无关，，，线性相关，说明不是恒等变换。于是，本题中的正交变换只能是绕轴旋转这种变换。， 在与旋转轴垂直的平面上，说明为旋转轴。因此，，共线，从而线性相关。因此答案选B。

选项A、C可以通过线性无关的定义推导，选项D可由，线性相关，从而得到，，线性相关。

6 特征值综合

本题主要考查特征值的一些常用结论，本题解题的角度较多。

若有一个特征值，则有特征值。但是不是的特征值，并不一定意味着不是的特征值。本题其实主要想考的就是这一点。

对命题(2)，结合，可得若有一个特征值，则有一个特征值为. 解方程，可得. 反例

对命题(1)而言，因为恰好的解只有1，所以1不是的特征值就能推出2不是的特征值。

命题(3)属于另外一种类型，因为一般来讲，我们只知道和有相同的特征值，但不知道对应关系。不过例子不难找，直接考虑对角矩阵，此时，解方程同样得到.

7 矩阵综合

本题主要考查对称矩阵与正定矩阵的概念。

为零矩阵时，不一定是对称矩阵。

由于与的特征值的关系，故若为奇数阶负定矩阵，的每个特征值均为正，为正定矩阵。

8 泊松分布

泊松分布的可加性，或者直接用二项式定理算。

9 正态分布抽样

简单题。

10 矩估计法

常规题，主要考计算。

11 导数的几何应用

这道题这里有一点小瑕疵，应当指明两条曲线相切于一点，否则可能会引起误会导致做不出来。

修改后的题目如下：设函数

,.若曲线与相切于一点，则它们的公共切线的方程为？

数二第三套也有一道导数的几何应用的题，考到了与零点定理相结合，也可以做做看。

12 反函数与微分方程

这道题有一定的难度，可能考研中对反函数的考查，暂时还没有从这种角度出题。数二三套卷中也有一道类似的题。

两者的共同点都是考到了反函数与牛顿--莱布尼茨公式。区别在于，由于本题中给的的条件都是等式，故实际上本题的可以求出来，不过是带着待估参数。因为题目条件中对的刻画不是很明晰，只知道其大于1，所以要求参数范围的话，转化到反函数这一边，用的值域为，从而反函数的定义域为并结合值域为来确定的值。

13 隐函数的偏导数

常规题。

14 反常积分与数项级数求和

主要考查分部积分，利用分部积分推导递推式。

15 行列式

范德蒙德行列式的应用。数二三套卷中也有涉及范德蒙德行列式的一道题。

16 一维随机变量函数的分布

常规的求一维随机变量的函数的分布的题。

17  定积分的应用与函数最值

常规计算题。

18 二重积分计算

主要考查二重积分中要分区域计算的问题，此类问题中，像，绝对值函数以及取整函数都是常见的被积函数。本题主要出现了绝对值函数与取整函数。

19 定积分定义求极限

利用定积分的定义与夹逼准则求极限的综合题。为了降低难度，分成了两问，第(1)问主要是为了提示第(2)问中消失的这个因子的作用。

第(1)问中，两个项和式的乘积，各自匹配一个因子去凑定积分的定义，而它们为了凑定积分的定义各自补上的部分又恰好能约掉。

第(2)问中，多了一个新的项和式，而这个因子消失了，所以可以考虑第(1)问已得极限部分还原，而新增加部分再稍作处理，其实就差了一个夹逼准则。

利用夹逼准则求项和式极限的题在往年真题中也出现过。

20 柯西中值定理

本题是一个双中值问题，且形式就特别让人能联想到柯西中值定理，对与稍作还原，可以想到消失的做分母的函数分别为和.

21 正交相似合同变换

同时合同对角化的问题，与本题有所关联(当然，考查方向不同)的题在数一三套卷与数二三套卷中均有涉及。

因为这个问题其实比较难，所以我们选择了好处理的2阶矩阵进行考查。第(1)问其实是先用正交矩阵给其中一个矩阵打洞，然后验证若有这个条件，则事实上这个正交矩阵也能给另外一个矩阵打洞。

第(2)问是2022年数二、数三的线代大题的一种延伸考法。

但是本题的写法有点迷惑性，导致出了一个小瑕疵，我们审稿时都没发现，直到我讲模拟预测营课的时候才察觉。。。T.T因为第(2)问其实是依赖于可以同时合同对角化的，所以需要有这个大前提，而我们的题目中，这一前提其实只是在第(1)问中有，且只是第(1)问的命题的假设，证明了该命题正确，仍然无法保证题干中的矩阵满足该前提。因此，我们应该在题干中补上这一前提。修改后的题目如下：

下面是与本题有关的数一与数二三套卷中的题。

22 条件概率密度

比较常规的条件概率密度的题。

to be continued...

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