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3月22日,2023年阿贝尔奖(Abel Prize)公布,授予阿根廷裔美籍数学家、得克萨斯大学奥斯汀分校教授路易斯·卡法雷利(Luis A. Caffarelli),表彰其“对非线性偏微分方程的正则性理论的开创性贡献,包括自由边值问题和蒙日-安培方程”。卡法雷利也是首位获得阿贝尔奖的拉丁美洲数学家。阿贝尔奖是数学三大奖项之一,由挪威设立,每年颁发一次,奖金为750万挪威克朗。
在阿贝尔奖官方公布的人物传记中,作者Alex Bellos表示,“在理解偏微分方程方面,没有哪个在世的数学家比卡法雷利贡献更大。他引进了巧妙的新技术,展示了卓越的几何洞察力,并产生了许多开创性的成果。”
本文访问者刘太平任职中央研究院数学所,林长寿为中央研究院院士,郭忠胜任教台湾师范大学数学系,林琦焜任教交通大学应用数学系,整理者焦源鸣、林思华为中央研究院数学所助理。
策划 | 刘太平
时间 | 2008 年 5 月 2 日
地点 | 台湾大学数学系
整理 | 焦源鸣、林思华
刘太平(以下简称刘):我们的访谈通常都先问一个标准的问题:你小时候在阿根廷,如何开始喜欢数学的?
Caffarelli(以下简称 C):其实,我一直都很喜欢各种科学。高中时,有位很能启发学生兴趣的老师,班上30位学生中,有8位毕业后就读跟数学相关的科系,后来只有2—3位留在数学界发展。当时我尚未决定求学的方向,我同时对工程、 物理、 数学感兴趣。所以,在高中最后一年,我旁听了一些工程跟数学的课程,比较之下我还是喜欢数学。工程就不再去想了,只需选择数学或物理,这两门科目我都喜欢。但1966年,在我要进大学前,军政府接管了学校,并且强行干涉学校的内政。许多物理学家跟数学家都出走了; 物理学界花了好一阵子才恢复元气。当时我同时进修数学跟物理约有 2 年,但最后选择了数学。
刘:传统上阿根廷的物理学很强,对吧?
C:没错。阿根廷的物理学很强。
刘:那数学呢?
C:哦,数学也是,不过现在阿根廷培养出来的物理学家跟数学家已散布到全球。我念书时,学校有些优秀的教授,如 Luis Santalo,一位西班牙数学家,西班牙内战时在共和军,最后必得离开西班牙时,他来到阿根廷。在芝加哥的 Calderon,他有许多优秀的学生回到阿根廷,他们有很扎实的训练,我因此也受到很好的训练。
刘:20 世纪初期,有那些出色的阿根廷数学家?
C:没有。阿根廷和一般的拉丁美洲的数学界,由于二次世界大战跟西班牙内战而蓬勃成长,因为当时有许多科学家因战争逃往拉丁美洲,如 Andre Weil 去了巴西,Beppo Levi 则去了阿根廷。政府自40年代开始便大力支持科学研究,一直到50、60年代都是如此。
刘:华人社会一向看重学识的追求,阿根廷也是一样吗?
C:是啊,不过现在的人心里有些挣扎了:学识和财富,孰重?(众人笑)
林长寿(以下简称林):你可否讲一些你的大学生活?你从教授那边得到那些数学方面的启发?
C:我们没有所谓的大学部。在阿根廷,一旦进入高等教育系统就读,你便是「Licenciatura」,类似硕士生,这个体制是阿根廷的一个严重问题,没有过渡阶段。如果学生能完成学业,便能领到文凭;如果学习中遇到挫折,无法坚持下去,只能两手空空离校。我觉得这会是个问题,但不幸的,我们的制度就是这样。对于我来说,大学独特的氛围,空阔的校园,我们一整天都待在学校,有许多开放空间供学生使用。我们生活在那儿,分享彼此的问题跟想法。我想我们不仅仅只是一个团体,我们每个人都是一个共同体的一部分。
林:在那段期间,教授跟学生之间的关系特别亲近?
C:主要是学生之间的互动,教授们很好,会回答你的问题。但主要是助教跟学生,尤其是学生之间,彼此切磋。学校离家不近,我们大部份的学生,需要搭一个小时的公车才能到校。所以到校后,就会在学校待上一整天而且把功课做好,气氛好极了。我想,世界上不管在那里都一样,要紧的是你周遭的气氛,例如一所好的高中,有好的师资,但主要的还是那些学生让整个气氛和乐,因为他们彼此有良性竞争。
林:你后来曾回母校去吗?
C:有的。我每年都会回阿根廷,有时1年2次。
林: 情况还是一样吗?
C: 是有些改变。60 年代阿根廷就如同当时世界许多地方,是让人振奋的时代。
林琦焜(以下简称琦): 政治方面吗?
C: 嗯,啊,没有束缚的 60 年代。年轻人感觉未来有无限可能,没有限制,美国跟法国都是这样。
琦: 你是说受学生运动的影响? 这好像是从法国开始的。
C: 可能是因为经过战后休养生息。那个时候在阿根廷任何人都可以找到自己的一片天。你可以念书或找到一份好工作,安身立命,所以年轻人充满信心。
刘: 我知道 60 年代同样是墨西哥的好时光,对吧?
C: 没错。
刘: 那是个充满希望乐观的年代。
C: 乐观让人对未来有信心,就像对科学有信心。
刘: 接着你去了美国。
C: 我去了美国,是的。我拿到阿根廷一年的奖学金到美国去,从此就待在美国了(众人笑)。
刘: 你在美国待了那么长的时间,可不可以跟我们谈谈你学习过程中某些曲折的经过?
C: 所有待过的地方,我都很乐在其中。去明尼苏达之前,刚在阿根廷完成特殊多项式理论的论文,对于 PDE (partial differential equations,偏微分方程) 的理论一点概念都没有,在明尼苏达时才发现PDE,因此我学到很多。每个阶段各有不同,我很喜欢我在芝加哥时做的东西,那期间我主要是得到想法。在 Courant 期间则有许多活动,和 Nirenberg,Varadhan 等互动,每个地方都有它的价值,有它独特的价值。
琦: 你什么时候遇到 Nirenberg?
C: 我跟他有过几次简短的碰面,然后忽然有一天他打电话给我,当时我正访问意大利,你愿意加入 Courant 吗?我第一次到 Courant 时,才真正跟他有比较深入的接触,开始合作,那是 1980 到 82 年间。
琦: 那时你们完成了 Partial regularity 的文章?
C: 就是那时候。我跟 Nirenberg 和 Joel Spruck 在那段时间写了好些论文,利用 continuity method 探讨完全非线性方程,如 Monge-Amp`ere 方程。
刘: 既然你提到 Nirenberg,可否谈一下你曾经相处过的人?特别是 De Giorgi?他是怎么样的人?
C: De Giorgi?他了不起。我记得他是意大利国际特赦组织的主席。除了是位伟大的数学家,De Giorgi 也十分关心人权,他与众不同,令人喜欢,非常专注,意大利的数学家都敬爱他。
刘: 你能否说一说 De Giorgi 是怎样的伟大的数学家,他的工作态度,他的……?
C: 我跟 De Giorgi 私交不深,我并不常去比萨,每次见他一个星期,大约 3—4 次。数学方面我记得曾告诉过你,他在 26−27 岁时,解决了 Hilbert problem。当他 30 出头时,建立了 generalized theory of minimal surfaces,然后在 1957−1958 年间做了 homogenization。其实有件事,我一直感到不平,当你读到A beautiful mind'' (中译: 美丽境界),大家因为有 De Giorgi 的工作以至于 Fields 奖没颁给纳许而感到遗憾,但在孤立环境中先做出这个工作的 De Giorgi,却没人为他没得到 Fields 奖抱撼 (众人轻笑) 。
刘: 我想他们两人都不需要多这个荣誉。
C: 是的,是的,毕竟不需要。De Giorgi 非常可亲,非常和善。如果有人跟他提起这件事,他总是说: 不用操心这个了。
郭忠胜(以下简称郭): 你最喜欢那个领域?
C: 嗯,每个领域都美。当发觉掌握到问题的关键时,我特别高兴。这是研究数学美妙的地方。每个阶段的感觉不一样,举例来说,当我在撰写第一篇论文时,感觉我的技巧愈好,我就知道、发现得愈多。现在,随着年纪与见识的增加,看问题格局更大也更深入。数学家常有个理论,22 岁前是数学家的黄金时刻,所有的结果都该在 22 岁前完成,但我并不这样认为,22 岁做出好的成果是很让人意外的,因此众人瞩目。每个阶段都是好的,每个阶段对数学有不同的体会。
林: 确实。我很喜欢 Caffarelli 教授的想法。我想,他是用自然的方式在研究数学的,掌握问题的核心,观点自然。举例来说,我回到台湾,在大学任教 3 年后,决定搬到台湾一个偏僻的地方——当时几乎是隐居——专心研究数学。我选择的第一个问题便是探讨奇异性 (singularity problem)。
C: 我知道,我还记得。
林: 我的研究受到 Caffarelli 教授的论文许多启发。那篇论文是关于如何将解分类,利用 Kelvin transform 将无穷远点转换到有限点,然后只需考虑一个有奇异点的方程。想法很简单,也很自然,我想是做偏微分的人第一次处理奇异点的问题。对我而言,我深深为你及 Louis Nirenberg 等合作的 Monge-Amp`ere 方程的文章所吸引。我想这是你的 fully nonlinear 方程工作的起点。你从何时开始跟他合作的? 你们之间激荡出何种火花?
C: 我们很紧密的合作。跟 Nirenberg 合作很难预料最后结果会如何浮现,我们由讨论开始,想法就在一来一回之间蹦出来。我觉得 合作是一个很好的过程。有些时候,合作有点类似拼图,各人知道不同的部份,双方坐下来把自己知道的一部份拿出来,放在一起; 有些合作则是由零开始,必须要双方一起找出想法,Louis (Nirenberg) 便擅于此道,我们常凑在一起,谈天、讨论。
林: 你在非线性、椭圆 PDE 的工作非常几何,我想,在 PDE 数学家中,你的想法非常独特。
C: 那或许是因为 PDE 我是自修的,在明尼苏达时,我听了 Hans Lewy 的课又向他请教几个问题,我当时并不懂 PDE,他问了我 2 ∼ 3 个问题,都是没有泛函分析为背景的,而是有关调和函数回绕曲线之类的。并没有论文谈论到这些,所以我便去翻找老的论文,我必须自己发现些东西,这给了我一些优势。
刘: 如此说来,从行外开始会有好处。
C: 是的。有许多次是这样,许多次都是这样。
刘 (笑) : 今天,当你在演讲时,你给我们一个强烈的印象——你好像身处在一个繁花似锦的园子,沉浸其中,乐在其中,对吧?
C: 没错,我喜爱谈论数学,是的! 我们这一辈子都在跟人们传达讨论我们的想法,我喜欢这样。
刘: 你懂得 PDE;我这话说得轻淡!你是否可以谈谈偏微分方程的一些方法、技巧或是想法,或是和偏微分方程有关的活动、人物……
C: 多年前,我真的很想举办一个研讨会,邀请我最推崇的 3 位分析数学家: Calderon、 Carleson 跟 De Giorgi来谈谈他们的想法。不过现在说这些都太迟了,因为 Calderon 及 De Giorgi 已经过世了。我喜欢借用 Gene Fabes 描述 E. M. Stein (我同样佩服他的分析能力) 的说法: 「 I think he can hear the music」来形容这三人,我想这句话真实地描述了他们如何做数学。他们改变了研究领域的视野。当我还在阿根廷的时候,我学 Carleson 傅氏级数逐点收敛的定理,这是定理中的定理。
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