(一) 雪球产品结构
雪球是一个场外期权产品，整个产品结构既有障碍期权部分，又有票息收入部分。是一个同时具备下跌后敲入、上涨后敲出特征的障碍看跌期权。产品发行方近似相当于带障碍的看跌期权买方，雪球产品购买者相当于带障碍的看跌期权的卖方。雪球结构的收益模式复杂，我们通过下面一张图进行说明展示，关于雪球结构的描述性介绍不作为本篇报告的重点。(二) 本报告内参数设定说明：
敲出价格：期初标的价格的103%，每月观察（例如雪球进场时间为某月T日，则观察日为产品存续期间内的此后每月T日，遇节假日则提前至最近交易日观察）；票息：产品票息可按年化20%预估，但在回测中我们会以计算出隐含票息为准，暂不考虑敲出票息和到期收益票息的不同。无风险利率：设定为常数3%；分红直接影响指数点位，未考虑分红股息影响。
(三) 基础公式推导：
虽然股票价格存在不确定性，但一个合理的假设是——股票价格的增量（收益率）满足独立的正态分布，加之股票价格本身连续但不可导，因此广泛建立使用的模型假设是股票价格符合几何布朗运动。根据伊藤引理（将S和t的函数f进行求导与泰勒展开），我们可以得到一个经典的PDE方程,其中f为S和t的函数：如果直接模拟价格S的路径，则在离散时间模型下只对一个较小的有效；但由于我们是对于（收益率）的路径建模，和可认为是常数，因此在任意长度的时间周期T下，上述的路径公式(2)依然可用。
首先，产生N条随机路径，并根据的路径公式(1)，通过随机选取后，模拟计算在每一条路径下、在未来不同观察日节点时的股票价格。然后，仿照雪球产品损益结构，根据每一条路径下股票价格的变化，判断不同节点下的股价是否敲入或者敲出。计算出在雪球产品终止时（敲出或者合约到期时）的收益，并按无风险利率贴现。最后，将贴现后的、N条路径下的产品收益进行平均，得到雪球产品理论价格。(五) 有限差分定价法：
回忆我们在上文中提及的，衍生品f价格所满足的微分方程。通过联立公式(1)后消除随机游走项后，得到BSM微分方程。有限差分正是通过求解微分方程的方式（具体方式是将微分方程转化为差分方程，并求出数值解）来达到衍生品定价的目的。
首先，我们对有限差分网格进行划分，横轴为期限T，并将其划分为N个等间隔的时间段；纵轴为标的价格，0到Smax之间也划分成M个间隔价格，Smax是初始给定的较大价格。此时我们可以根据网格图上的点来定位对应到期权的价格。
这样处理后的好处在于我们可以快速处理PDE方程中的求导部分（希腊字母）：
可以选择向前差分近似
但Theta的差分近似方式会直接影响微分方程的求解方式：如果Theta选择向前差分，则整体对应的是隐形有限差分方法，暨此时时刻的期权价格与有关；如果选择向后差分，则时刻的期权价格与有关，则对应的显性差分方法。两者的区别我们放到后面叙述，但首先通过计算、以及后我们可以将微分方程(3)整理成如下公式：隐性差分公式，其中a、b、c均为可计算的常数项，f为希望求解的变量：之后通过在T日的边界值倒推求解方程组，我们就能得到在0时刻期权的价格。这个注意，边界值是在求解PDE中的重要条件，例如在雪球障碍期权中的敲出结束正是Smax边界时合约价值等于票息的一个例子。但敲入的情景相对难以处理，因此在运用有限差分方法对雪球结构定价前需要再次进行拆解。
考虑本报告全文逻辑，我们仅在此对雪球的收益模式做一个简单拆分。（一） V1向上敲出期权：未敲出时价值为0，敲出后结束获取票息（二） V2向上敲出向下敲出：价格处于敲入线和敲出线之间可获得票息。下方敲入线同样转变为“敲出”，一旦触碰上下敲出线，合约结束，无票息。（三） 剩下的部分则是卖出向上敲出向下敲入put，这里需要一个转换：向上敲出向下敲入put + 向上敲出向下敲出put = 向上敲出put向上敲出向下敲入put = 向上敲出put - 向上敲出向下敲出put卖出V3向上敲出put：在T时刻的边界为max（K-ST，0）买入V4向上敲出向下敲出put：与V3边界类似，但当向下“敲出”后，价值变为0。(六) 对比蒙特卡洛模拟法和有限差分定价法定价结果：
确定雪球合约要素为，敲入：80%；敲出103%；期限12个月；票息年化20%；波动率15%。分别用30万条路径的蒙特卡洛模拟法和有限差分法定价，结果基本相近。对比来看，蒙特卡洛模拟收敛速度虽然较慢，但是相对稳定，而且应用场景比较灵活；有限差分方式，隐形差分在每个时刻向前一时刻计算时，都需要同时对M-1个方程进行求解；显性差分的计算方式更加类似于树形的概念，但其收敛结果可能不稳定，需要对的时间间隔精度有一定要求。
在后半部分期货复制雪球策略的论述中，对于雪球产品的定价以及希腊字母的计算仍主要选取蒙特卡洛模拟方法。(一) 雪球的票息如何确定？
承接上文，雪球定价结束后我们得到在特定票息和特定波动率下的雪球Value，因此可以根据波动率预测模型确定波动率后，找到雪球Value近似为零时的票息，这个票息则是雪球结构不考虑对冲收益时的理论票息。同时波动率的设定对于雪球Value以及票息的高低也会产生影响。原因在于雪球交易商在对冲delta的过程中，暴露了正的Gamma，从而在高抛低吸的过程中收获市场波动带来的收益。
雪球发行商在决定票息一方面会考虑波动率的定价，以雪球为例，定出票息所对应的隐含波动率一般会低于实际模型定价的隐波；另一方面，动态对冲收益也是重要的考量因素，雪球发行商作为带障碍看跌期权的买方，会有负Delta方向暴露和正Gamma暴露，通过对买入期货多头Delta进行对冲，保留期权端的正Gamma暴露，以达到高抛低吸的交易效果，同时也能享受期货贴水收敛带来的收益。
那么直观的一个想法是，作为没有雪球仓位的投资者，能否参考雪球发行商的行为，直接通过高抛低吸的交易方式，买卖期货来复制雪球收益？(二) 期货复制雪球的步骤和原理
首先第一步确定雪球合约要素，根据雪球定价计算Delta。基本要素敲入80%；敲出103%；假设合约起始日期某月T日，每日观察敲入，在锁定期结束以后每个月的T日观察敲出（如该月的T日并非交易日，则向前找到最近的交易日）。合约期限12个月；波动率设置为中证500指数滚动60个交易日的年化历史收益波动率；为贴合现实场景，加入了前两个月份不进行敲出观察的锁定期；当合约敲出或者合约自然到期，则下一个交易日自动续作。由于期货复制雪球策略为长期滚动策略，且我们不会进行择时干预，因此我们在旧合约结束和新合约续作之间并未留出时间差，尽可能真实地囊括每日的期货交易以及减少由于续作时间差的选择对于隔夜风险和路径依赖造成的影响。票息的计算已在上文介绍，在合约起始点找到使雪球Value接近于0的隐含票息，在合约存续期间票息保持不变；续作时再计算新的隐含票息。但随着时间变化（例如站在T+N日的视角下）需要注意，虽然敲入线仍保持为初始价格的80%，敲出线为初始价格的103%，但随着标的价格变化，蒙特卡洛路径模拟的起点也会变化，路径的剩余到期时间也会相当变短。因此在雪球存续期间，Value的计算参数也一直在变化。计算得到Value后，可以在同样的蒙特卡洛路径下，可以对标的价格赋予一个极小值，中心法计算出当前日期下的Delta。第二步，仿照雪球发行商对冲，滚动买入Delta份的期货合约。回测周期2016年1月1日-2022年12月31日。初始资金1000万元，根据Delta计算交易份数取整。如果按照0.0023%期间期货持仓变化所产生的交易手续费，大约75000元左右，占初始资金的0.75%。为在报告后文中对比股票和股指期货跟踪delta的效果，因此交易手续费可以暂且忽略不计。期货复制雪球策略年化收益17.05%，最大回撤23.86%；指数年化收益-2.35%，最大回撤43.13%；期间雪球结构收益-1.51%，最大回测38.36%。(三) 辩与思：策略收益主要来源是否来自于期货贴水收敛而非复制Delta？
策略参照雪球产品的Delta来调整期货仓位，而由于雪球产品可以近似和卖出带障碍的看跌期权对比考量，因此雪球产品的Delta大部分时间会处在0到1之间，策略本质仍为期货多头策略。那么直观的疑问是，期货复制雪球策略收益表现较好的主要来源是否来自于期货贴水收敛而非复制Delta。一方面，策略模拟调整指数持仓（仅作模拟测算目的，实际无法交易指数），而非期货仓位，来构建“指数复制雪球”策略并与回测期间的指数走势进行对比。回测周期2016年1月1日-2022年12月31日。初始资金1000万元，根据Delta计算交易份数取整。指数复制雪球策略年化收益2.24%，最大回撤25.86%，仍优于标的指数-2.35%的年化收益和期间雪球结构-1.51%的年化收益。
接下来，我们将期货多头替代策略的表现与最开始的期货复制雪球策略进行对比。在期货多头替代策略中，滚动持有当月期货合约，到期提前一天换月，不考虑杠杆。回测周期仍为2016年1月1日-2022年12月31日。初始资金1000万元。
期货多头替代策略，年化收益7.36%，最大回撤20.77%。期货多头替代策略相较于指数有明显超额，而期货复制雪球策略相较于期货多头替代策略同样较优。
通过对比，我们得到结论，期货复制雪球Delta策略的超额收益既来源自身高抛低吸的交易过程，也得益于期货贴水收敛，其中贴水收敛收益的解释力度更强。另外，我们看到雪球Delta在2016年快速拉升，甚至超过1以上。对此我们的解释是：Delta计算方式是在S变化极小值后，计算不同路径的收益贴现价值的变化。因此在2016年波动率快速下降的过程中，标的一旦变化就会代替降波对定价做出补偿，S增减极小值引起的价值变非常明显。而也是在同一时期，期货贴水收敛明显，因此期货复制雪球在长期的正向收益业在很大程度上归功于16年的高持仓和高贴水；同样地，2019年也出现了类似的情境，在此不再赘述。
辩与思：期货复制雪球和Gamma Scalping的差异本质是？
期货复制雪球同样也是高抛低吸的策略，但其本雪球交易商的交易行为并不等同。雪球交易商是在有期权多头持仓的基础上进行Delta对冲和高抛低吸，本质上有正Gamma的暴露，当市场波动变大，在交易商高抛低吸的过程中也会赚取更多收益；而期货复制雪球策略本质上并非Gamma Scalping策略，仅属于是网格策略的变种。雪球交易商Gamma Scalping ≈ 看跌期权多头 + 网格策略高抛低吸。策略设定为T日观测标的价格大于滚动50个交易日下80%分位数，则T+1日模拟做空标的；如果T日观测标的价格小于50个交易日下20%分位数，则T+1日模拟做多标的。回测周期2016年1月1日-2022年12月31日。初始资金1000万元。策略年化收益-0.51%，最大回撤34.73%。
虽然上述网格策略的假设并不严格且收益为负，但我们也能推导出结论：直接应用网格策略也可能在回测期间获得正的超额收益，且收益和行情走势反向关系比较明显。事实上，网格策略的核心更多地在于其买卖间隔和阈值参数的调整与设定。
期货复制雪球策略本质上也属于网格策略的一种，但和普通网格策略的差异点在于，期货复制雪球策略是按照Gamma收敛速度优化后的网格策略：在普通的Gamma Scalping中，我们可以近似将Gamma视作是收益来源，Theta是潜在成本，而Vega是风险敞口，当波动中Gamma产生的利润高于时间价值的消耗时，就会有正的收益，在这个过程中，Delta的中性对冲扮演的角色就是在搬运Gamma带来的潜在收益。期货复制雪球策略通过对冲Delta，优化了网格策略中的仓位调整，在搬运Gamma的过程中赚取了更优异的年化收益。但是对于期货复制雪球策略来说最大的问题是，因为没有看跌期权Delta端的对冲，策略会暴露方向性风险，仍有可能在熊市出现下行亏损。当市场下行阶段，期货复制雪球策略持续买入标的低吸后，标的行情却未能出现起色，则会有净值亏损。
举例来说，在2022年的2-4月，标的行情走弱，期间存续雪球的Delta走强，期货复制雪球策略不断买入，但也在持续承担净值的磨损。
(四) 辩与思：期货复制雪球策略的优劣势总结？
1、策略在复制Delta的过程中搬运Gamma，效果优于普通的网格策略；2、作为期货多头，获取贴水收敛带来的收益，这个过程和市场整体在雪球大量发行阶段贴水收敛具备方向上的一致性（虽然短期可能不匹配）。1、期货复制雪球策略本质上和市场上的雪球产品收益来源并不相同，期货复制雪球策略仅属于网格策略中的一种。2、暴露Delta风险，在单边下行的市场环境不断加仓，净值有持续亏损的风险；3、模型收敛得到的定价并不稳定，一阶导Delta尚在可接受范围，但二阶导Gamma并不稳定，这会大幅增加对冲难度。4、根据雪球合约复制Delta的过程中，由于雪球产品的路径依赖属性较强。因此在不同起始时间点会有不同的敲入敲出路径，模型可能产生不同的隐含票息、定价以及希腊字母等等，以至于会产生不同的策略损益，期货复制雪球策略并不稳定。整体来看，期货复制雪球策略可为交易网格策略的投资者提供新的视角和思路，但需要明确其方向性风险敞口，并对模型定价和Delta跟踪更加审慎。