一、一元线性回归基础概念

1、回归模型的数学方程：

Y=β0+β1*X1+β2*X2+…+βn*Xn+e

其中Y是因变量，也称为响应变量。X1，X2…，Xn，是自变量，也称为解释变量。β0是截距项，β1，β2.…，βn是自变量的系数，e是误差项。其中e~N(0，O2），且独立同分布。

2、回归系数的显著性检验

回归系数的显著性检验是检验变量Xj的系数是否为0，即假设检验为

Hj0：βj=0，Hj1：βj !=0，J=1,…,n

此时用t统计量检验，如果t统计量的P值<a(通常取0.05），则拒绝原假设，认为βj !=0。

3、回归方程的显著性检验

回归方程的显著性检验是检验是否可用线性方程来处理数据，也就是说，方程的系数是否全为0，即假设检验为：

H0：β0=β1=…=βn=0，H1：β0 , β1 , ……,βn不全为0。此时用F统计量检验，如果F统计量的P值<a，则拒绝原假设，即可以用线性方程来处理问题。

4、相关性检验

相关系数的平方定义为：R2=SSR/SST

用它来衡量Y与X1,X2 ,…,Xn，之间相关的密切程度，其中SST称为总体离差平方和，并且满足SST=SSE+SSR。当R2接近于0，可以认为Y与X1,X2 ,…,Xn之间不相关，接近于1表示相关。因此，可以使用R2作为衡量自变量与因变量是否相关的重要指标。

二、元线性回归分析

步骤：A.建立回归模型；B.求解回归模型中的参数；C.对回归模型进行检验。

R中，与线性模型有关的函数有：lm()、summary()、anova()和predict()。我们由例子入手，逐步学习这些函数。

例题：财政收入与税收有密切的依存依存关系。数据给出我们1978年改革开放以来到2000年共23年的税收（x，百亿元）和财政收入（y，百亿元）数据，试分析税收与财政收入之间的依存关系。

1、读入数据

dat=read.table("clipboard",header=T) ##在Excel中选取B1：C24区域，然后拷贝.

2、拟合模型

fm=lm(y~x,data=dat)fm

于是得到回归方程：y=3.095+1.017x。

3、作回归直线

plot(dat$x, dat$y)abline(fm)

4、回归方程的假设检验

（1）模型的方差分析

anova(fm)

由于p<0.05，于是在0.05水平处拒绝原假设，即本例回归系数有统计学意义，x与y间存在直线回归关系。

（2）回归系数的显著性检验

summary(fm)

由于p<0.05，于是在0.05水平处拒绝原假设，即本例回归系数有统计学意义，x与y间存在回归关系。

5、预测值

当经过检验，回归方程是有意义时，可以用它作预测其他值。

new<-data.frame(x=700) ##输入新的点x=700，这里即时是一个点，也要采用数据框形式lm.pred<-predict(fm,new,interval="prediction",level=0.95)##给出预测值，interval="prediction"指给出预测区间，level=0.95表示相应概率为0.95。lm.pred ##fit为预测值，lwr是95%下限，upr是95%上限