摘 要

运筹学是一门理论与应用结合性比较强的综合性科学。运筹学课程一般作为管理类、经济类等学科的专业基础课^[1,2]。课程的特点是通过建立合理的运筹学模型，对管理及经济领域的实际人、财、物等有限资源进行合理配置，以实现最有效的管理。通过本课程的学习，希望学生能够掌握运筹学的基本原理和方法，培养学生的创造性、辩证思维能力和优化思想。

运筹学是一门综合科学，要求学生掌握理论知识，并可以学以致用。由于运筹学课程理论性很强，学生很难理解运筹学的理论知识，更谈不上应用。目前运筹学授课的老师也大多出身数学专业，比较擅长传统的“多媒体+板书”式教学方式^[3]，偏重理论的推导过程，被动学习的填鸭式的教育方式使学生学习兴趣不浓，教学效果不明显，在课程初期基本失去了学习本门课程的信心，此种教学方式不符合国家对培养高素质人才的要求，忽略了培养学生综合应用知识的能力^[4]。

1 案例教学法

案例教学法起源于 1870 年的美国哈佛法学院^[5]，始于医学和法学领域，是一种互动式、开放式的启发式教学方法^[6,7]，根据教育目标，以案例为基本载体，通过教师和学生之间的课堂互动、提高学生理解和解决复杂问题的能力。1921 年，哈佛商学院实施了案例教学，并正式成立专门机构进行案例开发和案例分析研究^[5]，自此案例教学法得到了广泛的推广。而国内教育界开始探究案例教学法，则是在 1990 年以后。案例教学法可以把复杂而抽象的运筹学理论知识简单化、具体化、实例化。案例是案例教学法的核心内容和根本保证，运筹学案例库的建设为案例教学法的应用及推广提供了强有力的基础支撑保障，案例库的建设将是未来运筹学课程改革的重要抓手，案例库建设会成为未来的发展趋势。

2 运筹学软件

运筹学在解决实际问题时，由于理论性强、数据量庞大等特点，手工计算一般是不现实的，因此需要借助计算机软件。随着现代科学技术的迅速发展，运筹学课程的教学也要求紧跟时代步伐，秉持学以致用的原则，需要学习计算机软件在运筹学中的应用，以解决实际问题。当前求运筹学问题的软件有很多，比如 Matlab、Mathematical、LINGO、LINDO、QSB^[8]、管理运筹学 v3.0（韩伯棠）、Spreadsheet 等，不同软件都具有各自的特点。Spreadsheet 是当前国际国内比较流行且易学的一种运筹学求解软件，它是 Excel 内置的规划求解模块，该模块基本都封装在 Office 中。Spreadsheet 建模与求解具有操作简便、界面友好的特点，可以方便快捷地解决运筹学问题的解^[2]。考虑到软件的特点及学生的专业主要是经济、管理类，因此案例库建设及授课过程中可以采用 Spreadsheet 进行求解。

3 案例库建设原则

本文将结合笔者在教学实践中的一些经验，探讨案例库建设应该遵循的原则。

1）选择学生容易理解的案例

案例教学法中所选择的案例应尽可能来源于学生的生活实际，这不仅具有针对性和实践性，而且学生也更易融入案例、理解案例。如果老师选择了一个难以理解的案例，很可能在学习初期，学生不是被课程本身的知识点所困扰，而是因为不理解案例背景而放弃学习。因此，老师应该选择一个易于学生理解的案例。案例库的受益对象主要针对经济类、管理类的学生，老师可从生产计划、资源利用、企业投资、项目融资等问题中收集案例。

2）综合案例知识点数量适当、难度适当且循序渐进

老师在选择案例的时候，案例的知识点数量要适当，一般包括 2~3 个知识点为宜^[3]，案例主题难度要适当、体现教学要求，知识点之间应该具有循序渐进的逻辑关系。解决当前问题之后，老师要提前设置好后续的思考或者进一步讨论。比如在运输问题模块，在产销平衡运输问题的基础上，引导学生思考产销不平衡及有转运情况的运输问题。老师需对所选择的案例反复研讨、修改，最终汇编入库。

3）案例与时俱进

在各类教材与网络上已经有很多运筹学的案例，案例库建设需要在吸纳其中一些经典案例的基础上与时俱进，不断更新、充实案例库内容。案例更新过程中，要时刻秉持将知识点要融入所选案例的原则。比如在整数规划章节中，其中有案例为“大学毕业生求职中的岗位匹配问题”，老师需要定时更新案例背景、岗位类型、专业要求、需求人数等信息。通过这个案例不仅使学生能够理解社会对高质量人才的需求，也能充分理解不同类型指派问题的求解方法。

4 案例库规范化设计及建设内容

案例教学是提高教学质量的重要手段，规范化的案例资源是重要保障。案例的结构组成，当前并没有给出明确的标准^[9]。案例是为教学而构建的，根据经验，笔者以为案例结构不宜太复杂，达到清晰、统一即可。可以设计包含案例名称、教学目的与用途、案例描述、启发思考题及分析思路的案例编排结构。需要注意的是，在教学目的与用途部分给出案例的使用说明，案例描述部分给出案例的背景及相关数据资料，启发思考部分给出问题的进一步探讨，分析思路部分给出问题的思考步骤及计算的详细过程。

构建运筹学课程建设内容体系，从而建立相应的案例库。应用型本科运筹学课程主要包括线性规划、对偶理论与灵敏度分析、运输问题、整数规划、动态规划、图与网络分析等内容^[10]。如果授课对象是管理类专业学生，则一般会加入存储论和排队论的内容，如果授课对象是经济、统计类专业学生，则一般会加入决策论和对策论等内容。图 1 为运筹学案例库规范化设计及建设内容示意图。

5 “软件+案例库”运筹学教学课程改革

1）灵活应用各类案例

案例库建设主要包括单一知识点案例、综合性案例及系统性案例^[4]。

知识点案例是只包括一部分小型知识点，适合在授课过程中使用，这些知识点案例紧扣教学内容并来源于实际。比如某机械厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，这两种产品都需要在 A、B、C 三种不同设备上加工。按照工艺规定，生产每件产品Ⅰ需占用各设备分别为 2h、4h、0h，生产每件产品Ⅱ，需占用各设备分别为 2h、0h、5h。已知各设备计划期内用于生产这两种产品的能力分别为 12h、16h、15h，又知每生产一件产品Ⅰ企业能获利 2 百元，每生产一件产品Ⅱ能获利 3 百元，问该企业应如何安排生产，使总的利润收入最大。这个案例可以让学生置身生产计划中，可以锻炼学生阅读、分析问题的能力，并且从中理解模型的构建及线性规划中的三个组成要素——目标函数、决策变量、约束条件。

综合性案例是包括一部分中型知识点，适合在章节授课进度末或课后使用，这些知识点紧扣章节教学内容并源于实际。通过对综合性案例的学习，学生可以很清晰地理解运筹学每章的结构框架，加深对零散类知识点的系统把握。可以借用“学习通”软件发布分组任务，并设置“教师评价(50%)+组内互评(20%)+组间互评(30%)”的评价方式，还可针对评价设置分项得分点，鼓励大家积极参与组内、组间及课堂讨论，以此作为课程的过程性考评标准的部分内容。这不仅可以调动大家的学习积极性，也提高了学生的团队合作意识。

系统性案例不仅包括运筹学的大量知识点，还会涉及管理学等其他学科。系统性案例包括案例的背景资料、问题提出、问题的分析、模型的构建、软件的实现及决策分析。适合在课后使用此部分案例来拓展学生的视野、增强学生的创新能力。系统性案例可以从全国大学生数学建模等比赛中提取。比如 2021 年全国大学生数学建模比赛题目为：生产企业原材料的订购与运输，可以从中提取部分内容和问题来构建系统性案例。

2）软件辅助教学

Spreadsheet 虽然是一款相对比较容易上手的运筹学求解软件，但是由于课程的学时是有限的，因此需要利用大概 1 小节课的时间对软件进行基本的介绍，并推荐学生在大学生慕课、学习通等平台进行自主学习。案例的软件实现部分需要在案例建设中进行详细列出，这样不仅可以帮助学生更好的学习软件，还可以为学生课后自学及问题求解提供参考途径。

3）多元化考核体系

多元化的考核方式是提升学生学习效果的有效手段，是学生学习的说明书。传统的考试方式是“期中成绩+期末成绩”，这种考核方式不能很好的反应学生的过程性学习效果，也不能很好地反映学生根据理论解决实际问题的能力。随着学科的不断发展，理论性教学应适当减少，同时，增加实践性教学比重，培养学生分析、解决问题和动手能力。最终考核可以将过去的《运筹学》仅靠一次卷面考试确定最终成绩的做法，改成平时成绩、卷面考试成绩和综合测试相结合的做法，三者的比例分别是 20%、40%和 40%。

6 结语

运筹学是一门重要的专业基础课，对培养学生解决实际问题，培养学生创造性、辩证思维和优化思想具有重要意义。传统“多媒体+板书”的授课方式比较枯燥乏味，基于“软件+案例库”的教学方式符合国家对培养高素质人才的要求，可以提高学生的学习兴趣，是运筹学课程的重要教学方式。符合专业特点的软件选取及规范化的案例库建设，是运筹学课程教学改革的重要保障。每个案例都需要严格遵循案例建设标准，精心甄选、设置案例的每个组成要素，包括案例名称、案例目的和用途等一系列内容，针对每个案例都需要有合适的定位，这样可以为后续案例库的应用、资源共享及更新提供强有力的保障。

参考文献

基金项目：青岛黄海学院2020年教学改革研究项目（hhxyjg2016）。

作者简介：于金秀，女，青岛黄海学院讲师，主要从事统计教学科研工作，研究方向为质量评价、统计建模，[email protected]。