摘 要

纸基器件作为柔性器件的一种，以其低成本、高便携性和环保性等特点，是目前的研究热点。通过书写工具，例如铅笔或者带有机械臂的其他可控书写工具等制造的纸基材料在传感方面有大量的研究，包括柔性电路^[2]、压力传感器^[3]、温度传感器^[4]、紫外线传感器^[5]、氢传感器^[6]等。碳笔的低成本、环保性和通过书写制备电极的简单工艺也成为纸基器件的优势。

2020 年国际青年物理学家锦标赛（International Young Physicists' Tournament，简称 IYPT）第十题^[1]为“Conducting Lines”，译为 “画出的导线”。题目原题为“A line drawn with a pencil on paper can be electrically conducting. Investigate the characteristicsof the conducting line.”即“用铅笔在纸上画的线可以导电，研究这种导线特性。”

图 1 为石墨样品的实物图和结构示意图。石墨是碳元素的一种同素异形体，在相同层内，每个碳原子周边连接着另外三个碳原子，以共价键结合，排列方式成蜂巢式的多个六边形；而各层之间以弱的范德瓦尔斯力连接，而每个碳原子均有一个可移动的自由电子，从而使石墨成为电的良导体。

在本文中，我们用铅笔制作了不同类型的纸基器件，设计实验方案，从等效电路原理出发进行分析，分别探究铅笔画出的“导线”的直流和交流特性。

1 实验原理

1.1 直流特性分析

关于电阻与长度、宽度、画线次数的关系，对于单一型号铅笔，根据电阻率表达式定义，可以得到

其中，ρ 为电阻率；L 为画线长度；b 为划线的宽度；d 为画线的厚度。由此可知，元器件的电阻与画线的长度成正比，与画线的宽度和厚度成反比。

1.2 交流特性分析

1.2.1 容抗与阻抗

阻抗通常用复数形式来表示

Z = Z _re + i Z _im          （2）

其中，Z _re 为实数部分，就是电阻；Z _im 为虚数部分，是由容抗、感抗组成。阻抗 Z 的大小

定义相位角。当为简单串联电路时，定义容抗，感抗 R_L = iwL，纯电阻阻值为 R。容抗与感抗相位相差 180 度。公式（2）中的阻抗可以表示为

元件的电容为

其中，Q 是物体身上带有的电荷大小；U 是物体带有电荷后具有的电势大小；ε_r 为相对介电常数；S 为极板的有效面积；k 为静电力常数；d 为两极板之间的距离。理想情况下，电容大小与极板的面积成正比。

1.2.2 铅笔导线交流特性原理及模型简化

实际的电容器不同于理想情况，其等效电路较为复杂，可能包含的一系列电路元件的串联和并联。在电容器两端的极板所连接的导线上存在电阻和电感，两极板之间可能存在漏电电流。电容器的等效电路图如图 2（a）所示。随着外加电源频率增加，电容器以自振频率为界限，分别工作于容性领域或感性领域。自振频率由电容器的材料和构造等决定。电容器的损耗主要来源自于介质损耗和电极损耗。

估算可知，由于自振频率（简谐频率）数量级在 10¹⁰ Hz左右，而我们的测量仪器激励频率最高只到 10⁶ Hz，处在容性领域，因此在实验测试频率区间内可忽略电感引起的变化。等效电路图简化为如图 2（b）所示。按照串联并联电路的阻抗计算方法^[7]，阻抗表示为

其中实部为：，虚部为：，R_Ω 是等效串联电阻，R_ct 是等效并联电阻，C_d 是等效电容。将阻抗的实部和虚部两者消去 ω，整理之后可以得到

我们将阻抗的实部作为 x 轴，虚部作为 y 轴，可得到理论曲线为如图 2（c）所示的圆形。

2 实验材料与装置

为了降低微观铅笔画出痕迹中石墨分布的不确定性对于宏观现象产生的影响，我们利用控制变量的方法，控制了画线压力的大小。搭建的画线压力控制装置实物图和示意图如图 3（a）和（b）所示。压力控制装置由铅笔固定装置、配重、电机、带动纸张前进的金属圆棒和水平导轨组成。固定铅笔装置为中心带圆孔的有机玻璃圆柱，铅笔位于其中心位置。利用样品槽内的砝码控制画线力度。工作时，电机匀速运动带动金属圆棒前进，重复多次得到不同层数的铅笔导线器件。我们使用的纸张为普通 A4 纸（天章纸品，80g/m²）。

在纸张的两面进行画线，即铅笔涂层作为电容器元件的两个极板，中间的纸作为介质，构成一个简易的电容器元件。

图 4 为铅笔导线的涂层随着画线次数增加的示意图，随着画线次数的增加，留在纸上的石墨逐渐增加，同时，纸面上的石墨也逐渐趋于饱和。

我们利用显微镜观察随着铅笔涂画次数增加，观察纸面上石墨的分布变化，结果如图 5 所示。从左上至右下， 即随着划线次数增加，铅笔涂层面积增加。当画线次数增加到 20 次以上时，部分区域趋近于饱和。在后续实验中，我们选择在画线饱和状态进行测试。

对于接触电阻，有经验公式^[8]

其中，R_j 为接触电阻的大小；F 为接触电阻触头的压力；m 为与接触形式有关的常数，点接触时 m = 0.5~0.7，面接触时 m = 1；K 为与接触材料、接触表面加工方法、接触面状况有关的常数。实验开始我们首先要对接触电阻进行处理，我们将图 6（a~c）不同材质的导电胶带粘贴到铅笔导线两端并连接导线，以尽可能降低接触电阻的影响。

我们在纸张单面画线至饱和状态得到电阻元件，两面分别用画线至饱和状态制作电容元件。将制作完成的铅笔导线纸基元件裁剪为合适尺寸，再夹持到如图 7（a）所示的测量台上，再进行测量。

电阻的测量使用数字万用表（Fluke，15B+）。图 7（b）和（c）所示，电容、阻抗的测量使用数字电桥（固纬电子，型号 LCR-819）进行测量，如图 7（b）所示。交流特性的研究使用电化学工作站（上海辰华，型号 CHI650D），工作站的测试电压设置为 1V，频率设置为 100~100000Hz，如图 7（c）所示。电化学工作站的全称是电化学测量系统仪器，是所有测试系统的集合，常用的测量方法有：线性扫描法、循环伏安法、交流阻抗法、暂态计时法和电分析方法等^[9]。在实验中，我们用到的是交流阻抗法。

3 实验结果与分析

3.1 铅笔导线的直流特性研究

固定划线宽度为 2mm，如图 8（a）所示，划线长度由 1cm 变化到 10cm 时，绘制的铅笔导线电阻随长度线性增加。固定划线长度为 5cm，如图 8（b）所示，划线长度由 2.5cm 变化到 15cm 时，绘制的铅笔导线电阻随长度线性增加。R ² = 0.949。可以得到铅笔导线电阻与长度成线性相关，铅笔导线电阻的倒数与划线的宽度成线性关系，与理论符合。

3.2 铅笔导线的交流特性研究

我们制作了极板面积分别为 5 cm ²、10 cm ²、15 cm ²、20 cm ²、25 cm ² 的纸基电容器，利用数字电桥测量得到不同频率下，样品的电容随着面积的数据，绘制出点图，并进行拟合，得到图像如图 9 所示。可以看出，频率分别为 1kHz、2kHz、3kHz 时，随着电容器面积的增加，电容大小逐渐变大。

我们利用电化学工作站，测量 15 cm ²、20 cm ²、25 cm ² 的纸基电容器的阻抗随频率变化，结果如图 10 所示。可以发现，铅笔导线纸基电容器的阻抗随着频率增大而减小。结果符合元件工作在容性领域时，其阻抗随激励频率增加而下降的理论。利用等效电路理论分析铅笔导线电容器是可行的。

图 11 给出了以阻抗的实部为横坐标，阻抗的虚部为纵坐标的实验曲线图。寻找寻每条曲线的最大值和圆心坐标，分析可得对于三个样品，等效串联电阻 R _Ω 数值差异变化几乎为 0，随着纸张面积即电极板面积变大，圆心坐标和半径逐渐减小，即等效并联电阻 R _ct 数值逐渐减小，与理论符合。由于介质损耗、电极损耗等影响，实验曲线并非理想圆形，近似为椭圆。

4 结语

柔性器件目前在工业和生产中得到大规模的应用，不同形式的基底材料柔性器件的电学、化学和传感特性等一直是研究的热点。

在本文中，我们用铅笔制作了不同类型的纸基器件并研究其电路特性。我们设计实验方案，搭建了控制压力变量和测试电路特性的实验装置，并从等效电路原理出发分析并探究了铅笔画出的“导线”的直流和交流特性，测量了制作的纸基器件的电学参数。

本文的实验设计简单易行，可以直接用于教学中， 增强学生对于相关电学原理等知识的直观理解，有助于学生了解柔性器件相关的科学研究工作。

致谢：本文实验工作在南开大学物理科学学院公能创新实验室和南开大学化学学院先进能源材料化学教育部重点实验室完成。感谢陈平、董校等老师以及梁嘉禾、沈逸等同学的帮助。

参考文献

基金项目：2020 高等学校教学研究项目（DJZW202010hb）；国家基础科学人才培养基金项目（J1210027）；南开大学物理基地能力提高项目（J1103208）；南开大学 2021 年实验教学改革项目(实验课程改革类四新专业（21NKSYSX02））。

通讯作者：王槿，女，南开大学高级实验师，主要研究方向是基础物理实验教学、仪器仪表及生物医学光子学，wangjin8208@nankai.edu.cn。