物理系统的属性和行为在很大程度上取决于它的维数。通常，我们熟知的事物大多有着整数的维数，比如一维、二维、三维。然而，除了整数的维度之外，还存在具有非整数维度的对象——分形。自被发现以来，无论是在学术界还是在大众流行文化中，分形都吸引了大量关注。

分形必须具备一种层次几何结构，它有一种基本图案，以越来越小的尺寸不断重复，变成主要图案的不断缩小版本。

分形。（图／Kh627, Wikimedia Commons, CC BY-SA）

尽管分形看上去很奇怪，但它在自然中出现在各种各样的环境中，从雪花和闪电，到自然海岸线，都能找到分形的影子。为了将分形用于多体物理学研究，科学家付出了巨大的努力。

近日，由剑桥大学科学家领导的一组国际团队，发现了一种全新的分形，它出现在一类被称为自旋冰的磁体材料中。研究显示，这种现象的新奇之处有两个原因。首先，这种现象发生在一个干净、完美的钛酸镝（Dy₂Ti₂O₇）三维晶体中，而通常诱发分形行为的典型成分其实是无序的存在。其次，自旋冰中的分形是由支配这些系统中磁化的时间演变的特殊规则产生的。这些特征带来了科学家口中的“涌现动态分形”。论文已发表在《科学》上。

  自旋冰  

之所以叫“自旋冰”，是因为在这种材料中，低温下的磁矩（或者说自旋）的无序性和水冰中质子的无序性完全一样。

从结构上来说，自旋冰的晶格是由磁离子组成的四面体。在基态下，在每个这样的四面体的四个自旋中，两个指向四面体之内，两个指向四面体之外——换句话说，这些自旋遵循所谓的“冰定则”。

近年来，自旋冰材料已经因其磁性质的不寻常拓扑性质，以及它们有能力承载涌现的磁单极子激发，而脱颖而出。

在温度略高于0开氏度的情况下，晶体自旋形成一种磁流体。然后，少量的热能会导致冰定则在少数位点失效，构成翻转自旋的南、北极相互分离。也就是说，它们的行为就像独立的磁单极子一样。

事实上，正是这些磁单极子的动力学，以及它们与晶体结构的相互作用，首次导致了在一个没有无序的完美晶体块中，出现了分形图案。

简单来说，研究人员意识到，单极子一定“生活”在一个分形的世界中，而不是像一直以来假设的那样在三维空间里自由移动。自旋的构型创造了一个动力学网络，它像分形那样分支，而单极子就沿着它移动。

从一个给定的位置上，单极子（红色球体）可以通过翻转三个多数自旋（绿色和灰色突出标记的键）中的任何一个，“跳”到晶格的新位置，但不能翻转少数自旋（未标记的键）。（图／JN Hallén）

更准确地说，支配着自旋冰中的单极子如何运动的动力学规则，是由一个取决于附近原子的磁态的量子力学过程支撑。研究人员在大规模计算机模拟中实现了这一过程，并将模拟结果与在超低温下获得的高分辨率实验测量进行了比较。

由于本质上是动态的，因此分形无法通过静态属性的测量来检测。然而，它们在磁化的反应和涨落中产生了一种特征信号，而这种信号是可以被测量的。

事实上，这些分形的特征已经在不少实验中被观察到了，有些实验甚至可以追溯到近二十年前，而它们背后的细节至今仍未被充分理解、这些问题一直困扰着许多科学家，现在，新的结果终于首次为这些困惑提供了解释。

  探索对其他属性的影响  

研究人员表示，我们对这种分形化的荷（比如磁单极子）的理解，还远远没有达到我们对传统荷（比如金属中的电子）的理解水平。他们相信，根据研究提供的新的理解，这些材料中的其他特性也将可以被预测或解释。

既然自旋冰有能力展现出如此引人注目的现象，科学家未来或许有望在简单拓扑多体系统的协作动力学中获得进一步的惊人发现。