5月27日，首都师范大学交叉科学研究院博士后研究员季然与清华大学丘成桐数学科学中心/数学科学系教授吴云辉合作的论文“非正曲率且有限体积的非紧流形的末端研究”（On ends of finite-volume noncompact manifolds of nonpositive curvature）在线发表于国际顶尖数学期刊《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）。这篇论文攻克了几何与拓扑领域一个长达40年的公开难题。

非正截面曲率且体积有限的完备非紧流形的几何与拓扑是基础数学领域一个非常重要的研究课题。帕特里克·埃伯莱因（Patrick Eberlein）、米哈伊尔·格罗莫夫（Mikhael Gromov，1993年沃尔夫奖得主）以及格雷戈里·马古利斯（Gregory Margulis，1978年菲尔兹奖、2005年沃尔夫奖得主）等著名数学家在上个世纪70、80年代做出了一系列重要的研究工作。由他们的工作可知：对于一个体积有限的完备非紧黎曼流形，如果曲率介于两个负常数之间，那么它只有有限个末端，并且每个末端的基本群都是多项式增长的。

埃伯莱因研究了一类更一般的流形，在一篇1980年发表于《数学年刊》（Annals of Mathematics）的论文中，他证明了若体积有限的完备非紧黎曼流形的曲率非正且有界，同时它的万有覆叠空间是可视流形（visibility manifold），那么它只有有限个末端。近40年来，数学家们猜测，埃伯莱因研究的此类非紧流形不仅只有有限个末端，且末端的基本群也都是多项式增长的。这个猜想的本质困难在于如何控制抛物等距在无穷远处的渐近行为。

季然与合作者首先受到数学家安德斯·卡尔松（Anders Karlsson）和马古利斯于1999年在遍历论领域相关工作的启发，证明了此类流形末端的基本群是次指数增长的；然后借助CAT（0）几何的工具成功控制了抛物等距的渐近行为；最后，他们提出了无穷远处版本的Margulis引理，并利用它完全解决了这一公开长达近40年的猜想。该工作是近期非正曲率流形几何与拓扑研究的一个突破性进展。

《数学新进展》（Inventiones Mathematicae）是国际公认的、数学领域最顶尖的四大期刊之一。据统计，进入2024年以来，该期刊只发表了38篇论文，其中由中国大陆地区（含港澳）研究单位发表的论文仅有4篇。季然的合作导师是中国科学院院士、首都师范大学校长方复全教授，该篇论文在《数学新进展》上发表，是首都师范大学数学学科继2016年和2017年连续3篇论文在数学四大顶刊发表之后取得的又一突破性成果，标志着首都师大数学学者，特别是年青一代数学学者的科研工作达到国际领先水平。

论文链接：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-024-01266-0

（来源：交叉科学研究院；作者：滕超；值班编辑：刘子嘉、王子涵、梅蓝滋）