不知你是否认真想过下面这个问题：什么是

？

你可能会说，如果没有

，地球不照样转，我们的日子不也照样过吗？其实不然，至少在遥远的古希腊，有一群人的日子会过不好。

那是公元前 500 年前后，在爱琴海周边有一群有闲的智者，他们不事生产，终日思考宇宙的本质、生命的意义等各种大问题，毕达哥拉斯（Pythagoras）就是其中一员。

毕达哥拉斯（Pythagoras）

他及其门徒们认为“万物皆数”，即世间万物的和谐都能用数字来解释与描述。比如，当琴弦长度成简单整数比的时候，发出的和音最悦耳。

要注意，毕达哥拉斯他们所谈论的“数”，是如今所谓的自然数，即 1, 2, 3 这种我们打小会数的数。世间万物无外乎这些数以及它们的比例耳！这是一种信仰，支撑着毕达哥拉斯学派不断探索着自然。直到有一天，他们中的一员发现了一件不得了的事情。

这个发现来源于毕达哥拉斯学派另一个闻名于世的伟大成就，那就是西方所称的毕达哥拉斯定理（Pythagoras Theorem） ——也即我们的勾股定理：

若一个直角三角形的两直角边长度为 a 和 b，斜边长度为 c，那么：

如果我们画一个边长为 a = b = 1 的等腰直角三角形，按照上述公式一算，立马能得到

斜边长度的平方等于 2，这又咋了？

如果我是毕达哥拉斯，至此也不会怎样，估计会自言自语道：那就让我们来找到一个分数，其平方等于 2 呗！你可以试着找一找，或者相信我，很遗憾，这样的分数不存在。

断言：不存在一个分数，其平方等于2。（为了区别正式定义的数学中的“命题”与“定理”，我们称在直观理解下的一个或正确或错误的陈述为断言。）

正是这个断言，直接摧毁了毕达哥拉斯学派的整个信仰基础。

据说，发现这件事的学生被推入大海，其他门徒也必须发誓保守秘密。但只要是真理，就有被发现的一天，它是藏不住的。 时至今日，

于我们来说已经是一个再平凡不过的记号了。

那话说回来，凭什么上文的断言就是真理呢？它为什么是真的呢？如果要论证一个怎样的分数存在，很简单，找出来就行了。但是要怎么论证不存在呢？找了很久都找不到并不说明问题，我们得用逻辑推理来证明！

上文断言的证明：

假设存在一个分数 m/n，其平方等于 2，其中 m，n都是自然数。显然，可以不妨设它们不全都是偶数，否则可约去公因子 2。我们有

注意到右边是一个偶数，于是 m 的平方是一个偶数，那么 m 必然也是一个偶数，设 m = 2k。于是

同理，这又表明 n 是一个偶数。于是，m 和 n 都是偶数，与它们不都为偶数

矛盾，故假设错误，不存在这样的分数。

这是一段流传千古的证明，精彩，漂亮。要知道为什么这个证明震撼并摧毁了毕达哥拉斯学派，我们继续探究：

说这个方程无解没有人会反对，但边长为一米的正方形可是实实在在看得见摸得着地存在的，它的对角线长度就是一个平方等于二的量！可我们证明了它不可能是分数，说好的万物皆数呢？！

洞察：我们周遭物理世界的几何性质逼迫我们不得不承认存在一个量其平方等于二。

现代数学告诉我们存在着无穷无尽种几何（geometry），有些于其中成立毕达哥拉斯定理，有些不成立。

前者被称为平坦的（flat），后者被称为弯曲的（curved）。现代宇宙学一个很大的课题便是回答我们的宇宙到底是平坦的还是弯曲的。诚然我们在地球上的测量显示直角三角形两边平方和的确等于斜边的平方，但那未必不是由于测量误差导致的，换上精度更高的尺子可能会发现实际上二者并不相等，这样一来毕达哥拉斯信仰的分数说不定就够用了！

但无论如何，在平坦的几何中，分数肯定是不够的，

是存在的。据笔者所知，如今的各种实验基本都表明我们的宇宙是平坦的。

说了这么多，无非就想说明一件事——

的确存在。

作者：韩旭

来源：《无解的方程：从丢番图到伽罗瓦》

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编辑：张润昕

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