编者按：因疫情原因，不少数学家未能亲临ICCM2022现场，特别策划ICCM2022系列专访，对话那些远在海外的杰出青年数学家，十分期待明年相见。

提起倪忆，众数学同仁恐怕都不陌生，公众号“普林小虎队”、“返朴”时常刊发、转载他撰写的科普文章，引经据典，风趣幽默，发文量颇为可观。2022年菲尔兹奖公布前后，一系列预测、分析文章，令人叫绝。倪忆描述自己的生活：“平时除了研究数学和教书带学生，喜欢追踪科研热点新闻，喜欢带娃锻炼身体。”

特别感谢倪忆老师以文字回复了我们的问题。全文刊发，以飨读者。

被采访者 | 倪忆

编辑 | 牛芸

1997年，倪忆获第38届国际数学奥林匹克竞赛金牌并保送北京大学；2007年，获普林斯顿大学博士学位；2012年，获美国斯隆学者奖；2015年，倪忆任加州理工大学数学系教授

Q：您的主要研究领域是三维拓扑与纽结理论，特别是Heegaard Floer同调论及其应用（three-dimensional topology and knot theory, specifically Heegaard Floer homology and its applications）可否对这一领域做一个简单介绍？这一领域目前的热点研究问题是什么？和其他数学分支的关系？可否介绍您正在从事的工作、最新成果以及创新点？

倪忆：我的研究领域是低维拓扑。这是拓扑学的一个分支，主要研究低维（二、三、四维）流形的拓扑学。在拓扑学发展的早期，大家主要研究一般空间的性质。上世纪五六十年代，Milnor、Smale等的工作使得对（单连通）高维流形拓扑的研究蓬勃发展。到了七八十年代，Thurston、Donaldson等从别的领域引进了新的思想，让低维拓扑学跟许多其他数学分支联系起来，产生了异常丰富的内容。从此低维拓扑成为数学的一个主流分支。

我的具体研究方向是Heegaard Floer同调论，这是Ozsváth和Szabó在2000年创立的一个理论，用辛几何方法对三维流形、纽结、以及光滑四维流形定义了新的不变量。从历史发展看，这一理论跟八十年代的Donaldson理论一脉相承，但具体表现形式已经天差地远了。Heegaard Floer同调从技术上说，比以前用规范场论定义的不变量简单许多，但又可以用来解决低维拓扑里的一大批问题。所以过去二十年里，其研究非常兴盛，进展极其迅速。Heegaard Floer同调本身的发展受到了辛几何、切触几何、规范场论、叶状结构、量子代数等领域的影响。另一方面，Heegaard Floer同调也极大地促进了这些领域的研究。

当前Heegaard Floer同调研究的一大主题是在各种意义上把这一不变量推广到别的形式，例如等变形式、曲线形式、同伦形式等等。另一方面，人们对于Heegaard Floer同调中究竟包含着什么样的几何与拓扑信息也非常感兴趣。有一个“L-空间猜想”，就是将Heegaard Floer同调里的L-空间与紧绷的叶状结构以及基本群的可排序性联系起来。

我原计划在ICCM上报告的题目是 “纽结Floer同调的次高项”。纽结就是三维空间中的绳圈。Heegaard Floer同调有一个对于纽结的版本，称为“纽结Floer同调”。Heegaard Floer同调里最深刻的结果之一就是发现了纽结Floer同调的最高项里蕴含着丰富的拓扑信息。近年来，我们发现，纽结Floer同调的次高项同样也有着大量的拓扑/几何信息。我讲的内容有三点：次高项是否非零，不动点个数的估计，右倾自同胚的判定准则。其中，次高项非零是一个猜想，但此前支持它的证据很少，我们的工作表明这个猜想很有可能是正确的。不动点个数的估计涉及到纽结Floer同调与辛同胚的Floer同调之间的关系。以前大家对这一关系有所猜测，但未能证明。我们使用了一个技巧，把纽结Floer同调化为一个闭流形的Heegaard Floer同调，然后就可以利用一些已知的结果来得到我们需要的关系了。右倾自同胚的判定准则是一个出乎意料的结果，我和我的合作者们对于能够证明这样强的判别准则也感到非常吃惊。这些结果在Dehn手术、切触几何等领域都有应用。

Q：从黄冈中学一路走来,您也曾经获得国际奥赛金牌。您在基础教育和高等教育阶段,是如何完成从参赛到科研的转变的?

倪忆：我上大学以后就基本脱离了数学竞赛，从头开始进行高等数学的学习。最初也曾迷茫过，不知道自己是否有能力从事数学研究。直到后来做了一些工作，才产生了信心，继续在这条道路上走下去。我最早的科研工作是在北大读硕士的时候做的，当时王诗宬老师给我一篇他写的论文，叫我把其中的定理推广到另一种情况。这其实并不难，基本上只需要模仿他原来的证明，在一些细节上作少许修改。后来我读博进入Heegaard Floer同调这一领域，做的第一个工作是把Ozsváth和Szabó关于纽结的一个重要结果推广到链环。这个证明也是模仿原来的证明，但在一些细节上用到了我从Gabai论文中学到的叶状结构方面的知识。对于初学者来说，只要有一定基础，模仿并推广前辈数学家的工作应该是一个很好的入门手段。这一过程中，能够对原来的证明理解得更透彻，并学习一些相关的必要知识，积累信心。我同辈的数学家中，很多人都有类似的经历。

Q：您师从美国院士David Gabai教授, 跟随大师学习的过程是怎样的？David Gabai院士对您的影响有哪些？

倪忆：普林斯顿数学系的传统是导师不太管学生，放任学生去寻找合适的问题。跟我同一个办公室的某人，有时一个学期都没机会与导师单独会面。相比之下，Gabai算是比较随和。我经常不预约就去敲他办公室的门，总能找到他。现在想起来，我这种做法挺不礼貌的。

我的研究课题跟Gabai的相差甚远，所以当时从他那里学习的不多。尽管如此，我往往能从与他的谈话中得到启示。他给大家的印象，并不是反应非常快的一个人。问他问题，他经常要想很长时间才回答。但他思考问题特别深入，每每一语中的。我博士论文中有一个关键的步骤就是在他建议下，使用他早年一篇著名论文中的方法才得以完成的。

Gabai的研究涉及到低维拓扑的好几个不同领域，非常博大精深。他做的数学我懂的还不到十分之一，但对于我的科研已经非常有用。他1980年获得博士学位，从那时至今一直活跃在学术前沿，不断有第一流的工作面世。他自己不做Heegaard Floer同调，但他的工作对这一理论影响非常大。Heegaard Floer同调里一些最深刻的定理都建立在他早年工作的基础之上。我这次报告中提到的右倾自同胚，其定义的灵感来源也是Gabai早年的工作。

Gabai的一大特点是非常专注。他的导师Thurston刚出道时研究叶状结构，仅仅两三年时间就像推土机一样推平了叶状结构里的一大批公开问题，以至于业界专家普遍认为叶状结构是一个已经没有前途的领域。Gabai跟随Thurston时，Thurston已经转去做双曲几何，Thurston的学生也都在做双曲几何，只有Gabai在做被认为是已经死掉的叶状结构。为了不被做双曲几何的同学影响，Gabai每天只在晚上来系里工作，白天都在宿舍睡觉。就这样，他发展出一套自己独特的研究叶状结构的方法，做出了一鸣惊人的工作。他的这种专注力是我望尘莫及的，但我还是努力地在研究过程中尽量向他看齐。

Q：经常可以在网上看到您撰写的科普类文章，数学史文章，这是您的爱好之一么？您还是加州理工学院少儿科普组织Caltech CPA STEM的一员，可以讲讲为小孩子做科普是什么样子的么？

倪忆：我在小学和初中的时候读过一些数学科普和数学史的书籍，从中受益良多，对数学的兴趣就是从那时产生的。所以，我自己有时也会写一些这方面的文章。大学时是在bbs上写，现在就是在微信公众号里写，受众更广。如今自己对数学的理解当然比大学时更深刻了，再看大学时写的一些东西就会觉得很幼稚，贻笑大方。

Caltech CPA STEM是加州理工学院部分有小孩的教职员工自发组织的活动，轮流给同年龄段的小孩讲课。疫情前每周一次，疫情后至今还没有恢复活动。我当初讲的时候，面对的是幼儿园的小朋友。听众知识结构比较单纯，连加减法都没有学过。所以只要给他们讲一些图形的知识，再布置一些任务让他们自己动手去做。这样的讲座相对来说比较容易准备。如果听众的知识背景复杂，会更难讲一些。

Q：授课、科研、科普写作，看起来您的生活节奏也非常快，您是如何平衡的呢？

倪忆：对我来说，取舍比较容易。我的主业是授课与科研，当然优先要把这些做好。有时我在科研上没有什么进展，并且因为疫情宅家比较无聊，写写科普文章也算是一种调剂。有时科研上的想法比较多，有很多问题可以做，就自然会把科普的事情放一放。

Q：您如何看待华人数学家的发展？

倪忆：最近十几年来，涌现出来了很多非常优秀的青年华人数学家，遍布数学的各个分支。其中虽然还没有出现像陈省身先生和丘成桐先生这样的大师，但青年华人数学家作为一个整体在国际数学界业已产生了非常大的影响。

现在这个时代就是中国数学的黄金时代。希望华人数学家大会作为华人数学界最有影响的交流平台，能够团结最广大的华人学者，在华人数学史上写下新的篇章。

本文经授权转载自微信公众号“清华大学丘成桐数学科学中心”。

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