今天晚上火热的卡塔尔世界杯就迎来了决赛，今年最大的看点莫过于是阿根廷复仇成功？还是法国卫冕冠军？

作为一个假足球粉，朋友圈里世界杯的赛事咱也看不懂，咱也不敢问。我认为早餐加点酱油更好，所以从今天开始好好学物理吧！

Part I 弯曲的面藏不住我想穿越的心

小编已经三天三夜没有合眼了，每天盯着足球想着总得和大伙说点什么，可是话总得有个头啊，想来想去只有四个字：非欧几何！

众所周知，在平面中从一个点辐射几条直线，形成的角的和总是360度。由于六边形的内角为120度，所以只用正六边形就可以铺满整个平面。而用正六边形和正五边形就无法铺满平面。

但是我们观察一下足球的构造，可以发现，足球是由正五边形和正六边形拼接而成，也就是说足球上一个“顶点”周围的角的和小于360度。这是在平面几何中无法理解的存在。我们称之为非欧几何。

在了解这个概念之前我们先回顾一下“欧氏几何”，欧几里得在几何原本中提出了五大公理[1]：

1，由任意一点到另外任意一点可以画直线

2，一条有限直线可以继续延长

3，以任意点为心及任意距离可以画圆

4，所有直角彼此相等

5，同一平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两个直角和，那么这两条直线必相交。

第五公理也可以表述成过直线外一点只能做一条不与其相交的直线，即只有一条平行线，所以第五公理也被称为平行公理。

公理不需要证明就可以认为是正确的。但是由于第五条公理如此复杂，许多年来几何学家就质疑第五公理是不是真正的公理。

在对第五公理质疑的过程中，19世纪，俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家鲍耶分别独立提出了后来被称为双曲几何（罗氏几何）的几何定理体系，从而发现第五公理不能被证明[2]。

在一个双曲曲面中，平行线对应于平面中一对双曲线。可以发现在这样的曲面中过直线外一点可以做无数条不与其相交的直线。

随之德国著名数学家黎曼（就是那个大名鼎鼎的黎曼猜想）又创建了黎曼几何。其最简单的模型是椭圆几何，也就是在一个椭圆平面中不存在不相交的直线。也就是说椭圆几何中不存在平行线。

罗氏几何和黎曼几何是最典型的非欧几何，但是从广义上讲，所有不符合欧几里得五大公理的几何都可以被称为非欧几何。

关于曲面上的几何学，最著名的讨论莫过于三角形内角和是不是180度。

著名数学家高斯也曾经做过实验，他曾经测量三个山峰组成的三角形的内角和，可惜由于精度不够所以没法验证。

黎曼提出的流形和度规的概念可以从理论上来计算这个问题。

所谓流形，通俗上可以理解成一个具有一定维度的光滑空间表面，比如直线和圆是一维流形，平面，球面，环面这些属于二维流形[2]。

度规则是用来计算流形中弧长、角度、面积等数值。

不同曲面上三角形内角和 来源：参考文献[2]

再后来，爱因斯坦提出相对论，由于在相对论中，除了三维的位置变量：（x，y，z），时间的维度也要计算进去。

所以，相对论中采用位置和时间的四维空间（x，y，z，t），在四维空间中计算得到两点间的距离为时空间隔。

在广义相对论中，则是利用四维洛伦兹流形模拟时空。物体的引力场则引起了时空的弯曲，所以黎曼几何也就成为了描述弯曲时空的有力工具。

Part II 长成一个超导体又不是我的错

非欧几何我们先浅尝辄止，怎地我一个学凝聚态物理的小编不聊点凝聚态物理倒显得委屈了它。

图片来源：百度图片

在微观世界中，有一种长得和足球一模一样的分子，被称为足球烯，它是由60个碳原子组成的球形分子。也被称为富勒烯、C60。

富勒烯（C60）图片来源：参考文献[3]

固相的C60结构最早由Krätschmer等人于1990年合成[4]。

单纯的C60本身是一个绝缘体。但是Stephens等人随后通过在C60中掺杂K原子，合成了K3C60，发现其在18K温度处产生超导特性[5]。

K离子分布在C60分子的间隙之中，为整个分子导电提供了电子。

K3C60的结构，空心和阴影的球体分别代表K在四面体和八面体中的位置。图片来源：参考文献[5]

随后人们在C60中掺杂不同的碱金属原子，或者施加压力制造出了大量的超导体。但是以C60为基础的超导体仍属于BCS理论预言范围内的常规超导体，所以其超导温度无法突破40K[6]。

自1911年Onnes首次将氦气液化并发现汞的超导性以来，寻找具有更高超导转变温度的超导体是百年来无数物理学家的追求。

超导磁悬浮

以C60为基础的超导体实际上属于有机超导体的分类。也就是由有机分子组成的超导体。

除了像C这样复杂的分子以外，也可以通过将普通的石墨掺杂碱金属原子，或者通过堆叠苯环的方式来构造碳基的有机超导体[6]。

在石墨中掺杂碱金属原子（红色圆球），来源：参考文献[6]

还有一种有机超导体是由Bechgaard首先发现的一类被称为Bechgaard盐的化合物，其特征为结构上是一维的化学聚合物，带有苯环基团，由分子链上的某些部分提供电子导电[7]。

更多的有机超导体表现出了复杂的相图，比如随外界压力、温度、磁场的变化导电维度会从一维导电变化到二维、三维导电，在低温下又是完全的超导体[6]。

有机超导体的相图，来源：参考文献[6]

如何解释有机超导体的复杂相图乃至其微观超导机理，目前也是超导物理学的最前沿的难题之一。

Part III 平凡的布料拼接出不平凡的我

众所周知，足球是由20块白色的正六边形和12块黑色的正五边形拼接而成。

如果我们将这些不同颜色和形状布料看成不同的原子或分子，这不是原子世界的团簇嘛！

团簇是由数个到数千个原子、分子或离子结合组成的相对稳定的微观或亚微观结构。

原子团簇 来源：百度百科

团簇所处的物质层次介于原子、分子和宏观物体之间，可以认为是第五种物态。（Ps：其他四种物态：固体、液体、气体、等离子体）

团簇最早是在1956年由BecKer等人通过超声喷注加冷凝的方法获得的，他们合成了Ar和He原子团簇[8]。

上世纪八十年代以后，由于扫描隧道显微镜(STM)的实现，团簇作为作为纳米尺度的物质逐渐受到广泛关注。值得一提的是，我们前面提到的C的发现更是丰富了团簇的研究范围。

组成团簇的原子、分子一般通过金属键、离子键、共价键、氢键以及范德瓦尔斯力结合在一起。这些力的本质都是原子间正负电荷间的库伦吸引力。

根据此我们知道，当结合在一起的粒子数目非常多（~10的二十三次方量级）时，就变成了我们熟悉的可以用肉眼观察到的的宏观物体。

由于组成团簇的粒子数目很少，所以粒子数目会对团簇的能级或能带结构有更明显的影响，因而会具有与宏观物体不同的尺寸效应。

比如说，随着团簇尺寸的减小，金属的连续能带变成准连续直至离散的能带，从而导致其由金属变成半导体或绝缘体[9]。

对于一个团簇来说，在更小的尺寸下，集中在表面上的原子更多。

由于处于表面上的原子有一侧没有和其他原子配位，所以表面原子具有更高的能量，更容易与其他原子结合。所以团簇具有很强的吸附性以及催化特性。

团簇表面原子没有配位的化学键，表面原子具有更高能量

制备团簇的方法一般有气相法、液相法和固相法[9]。

气相法就是先将物质变成气体，使之在气体状态下发生物理、化学变化，再通过冷却过程凝聚成纳米大小的微粒。

液相法则是通过化学反应，选择合适的盐类化合物，配比成溶液使各元素处于离子状态，再通过沉淀或结晶的办法获得超微颗粒。

固相法则是通过固相到固相的变化，通过切割、球磨等方法将大块粗颗粒微细化。

团簇的研究和纳米科学紧密相连。团簇可以用来制造微电子、光电子器件，发展集成电路，开展量子效应的研究。

Part IV 滚来滚去还能这么有理？

在足球比赛中，带球传球都是很重要的技术。

踢球过程中脚与球之间的弹力本质上是原子间的排斥力，属于电磁相互作用力。

具体到微观，就是电子与电子、质子与质子之间的库伦排斥力，电子与质子之间的库伦吸引力。

电磁相互作用过程就和传球一样，是两个粒子之间交换了一个光子。描述这个过程的理论被称为量子电动力学（QED），是由费曼，施温格和朝永振一郎于1940年提出。

电磁相互作用过程可以由简单的费曼图来描述。下图为电磁相互作用最基本的过程[10]。这个图描述的意思是一个电子进入相互作用状态，辐射或吸收一个光子，然后离开。在任何费曼图中，一个顶点就代表一个粒子。

电磁相互作用基本过程费曼图，来源：参考文献[10]

根据这个基本过程，只要知道相互作用前后粒子的数量和特性，通过组合基本费曼图，就可以得到所有电磁相互作用过程的费曼图。

我们可以画出两个电子之间的库伦排斥过程：左边两个电子进入，交换了一个光子，然后离开，实现了电磁相互作用过程。这个过程在QED里也叫穆勒散射（突然心肺一停）。

电子间的库伦排斥过程 来源：参考文献[10]

如果左边的电子箭头是向左的出射方向，则代表一个电子的反粒子，也就是一个带正电的电子。

比如下图描述的就是一对正负电子相遇后湮灭成两个光子。注意正反粒子的湮灭不可能只生成一个光子，因为不满足前后作用过程中的动量守恒。

正负电子的湮灭过程，来源：参考文献[10]

除了电磁相互作用之外，自然界还存在其他三种基本相互作用力：万有引力，弱相互作用，强相互作用。

我们知道原子核由质子和中子组成，质子需要克服相互之间极强的库伦排斥力，以及需要和中子束缚在一起，则需要通过强相互作用力。

质子和中子更本质上是由夸克组成。而夸克具有电荷、颜色、味道。（味道？好吃？好耶！呀吼！）

其实这只是为了区分不同的自由度来做的方便命名。就像我们常见的物体有动量、质量等不同的特征一样。

强相互作用力的本质就是夸克颜色之间的相互作用，通过交换一种名叫胶子的基本粒子完成。就像电子之间交换光子一样。其基本过程为：夸克-夸克+胶子。

描述强相互作用过程的理论叫做量子色动力学（QCD），最早由汤川秀树做了一些先驱性工作。

强相互作用基本过程的费曼图，g为胶子，q为具有特定颜色的夸克，来源：参考文献[10]

同样的，根据这个基本过程我们可以画出两个质子之间的强相互作用过程：

质子间的强相互作用过程，一个质子由两种颜色（u，d）的共三个夸克组成，来源：参考文献[10]

而弱相互作用主导的过程一般都是生成了新的粒子。比如说在核反应的过程中一个质子衰变成了一个中子。

弱相互作用的基本过程分为不带电的弱相互作用，也就是电荷守恒的过程，通过交换一个Z玻色子。

不带电弱相互作用基本过程的费曼图，Z为交换的玻色子，来源：参考文献[10]

其次是电荷不守恒的带电弱相互作用，通过交换一个W玻色子。

注意这里说的电荷不守恒只是在相互作用前后电荷不守恒，费曼图中每个顶点处都是电荷守恒的(包括颜色、味道)。除此之外，带电弱相互作用过程还会改变夸克的味道。

带电相互作用基本过程的费曼图，来源：参考文献[10]

除此之外，引力在理论上是通过交换引力子来实现的。

费曼图帮助我们把基本粒子相互作用过程中的具体细节呈现出来，可以大大方便分析和计算过程。

原来除了香蕉球以外，足球中还藏着这么多有趣的物理呀！

今天又是脑洞大开的一天呢！

参考文献：

[0] 封面图片来自网络

[1] 几何原本，兰纪正，周恩宽译，陕西科学技术出版社，2003年第2版

[2] 维基百科-Non-Euclidean_geometry

[3] Superconductivity in fullerides, O. Gunnarsson. Reviews of Modern Physics, Vol. 69, No. 2, April 1997.

[4] Solid C60: a new form of carbon, W. Krätschmer et al. Nature, Vol 347, 27,1990.

[5] Structure of single-phase superconducting K3C60, Peter W. Stephens et al. Nature, Vol 351, 20, 1991.

[6] 超导“小时代”之十七-朽木亦可雕, 罗会仟。物理（46卷），2017年，3期。

[7] 维基百科-Bechgaard_salt.

[8] BecKer E W. Z, Phys.146(1956)333.

[9] 金属小团簇的密度泛函理论研究和金属纳米团簇材料的实验研究, 李喜波. 四川大学博士论文，2007年。

[10] 粒子物理导论，格里菲斯著，王青译，机械工业出版社，2017年第一版（原书第二版）。

编辑：Garrett