最近，《自然》杂志的网站上刊登了一篇文章，在华人数学爱好者和学者之间产生了轰动。该文章的标题是《第一个无穷组素数成对出现的证明》。“孪生素数猜想”是什么？

这篇文章为何会引起轰动呢？这要从“孪生素数猜想”说起。

众所周知，素数是只含有两个因子的自然数（即只能被自身和1整除）。而“孪生素数”是指两个相差为2的素数，例如3和5，17和19等。孪生素数猜想是说，存在无穷对孪生素数。

孪生素数的问题已经有约200年的历史。在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特将孪生素数猜想列入了他那著名的23个数学问题。

想了解这个问题的奇妙之处，需要大概了解素数的分布规律。2000多年前，古希腊数学家欧几里德最先证明了素数在自然数中有无穷多个。这个证明是数学爱好者都很熟悉的，英国数学家哈代在他的《一个数学家的辩白》中也对这个证明津津乐道（如果有人没有读过的，推荐一读）。

随着数学慢慢发展，人们渐渐意识到素数在自然数的分布具有一定的规律。随着数量级的增大，素数的密度越来越小。例如，100以内有25个素数（25%），而100万以内的素数只有7.85%。

尽管素数的分布越来越稀疏，但其稀疏程度却是可以度量的。例如，人们发现素数的倒数和为无穷，这就意味着素数的分布比完全平方数要稠密。

在法国数学家勒让德和德国数学家高斯等人的推动下，人们开始猜测素数的分布律接近x/ln(x)，即前x个整数中大约有x/ln(x)个素数。这一结果于1896年被两位数学家各自证明，此时距离勒让德的猜想提出已经有98年。

素数的分布律说明，素数在自然数中越来越稀疏，同时素数之间的距离——平均而言——会越来越远。因此，孪生素数猜想也就显得很越发奇妙——如果素数之间的距离真的越来越远，那么出现无穷对距离为2的素数就不是那么显然的事了。

这似乎说明素数的分布是相当“随机”的，而不是近似均匀的扩散。可能学概率论的读者会注意到，这一结论与概率论中“随时间推移，一维标准布朗运动的位置平均而言离0点越来越远，但却以概率1无穷次折回0点”有着异曲同工之妙。

的确，素数的分布律与随机过程非常相似。然而，更为奇妙的是，素数的位置是完全是确定的，其本质上毫无随机性。张益唐做了什么工作？

终于可以讲到今天的冷知识了。新罕布什尔大学（University of New Hampshire，UNH）任教的张益唐近日声称，其证明了存在无穷多对素数，其差小于7000万。

尽管7000万是个很大的数字，但如果结果成立，就是第一次有人正式证明存在无穷多组间距小于定值的素数对。想想我们之前讲的，就会发现，既然素数之间的平均距离越来越远，那么存在无穷多组间距小于定值的素数对，与存在无穷多组间距为2的素数对（孪生素数猜想）是一样神奇的结论。

值得一提，如果存在无穷多组间距小于定值的素数，那么，通过取子序列的办法，我们可以得知至少存在一个数字C（小于7000万），使得无穷多组素数之间的间距恰巧为C。

无怪乎，美国数学家多利安·戈德菲尔（ Dorian Goldfeld）评论说，从7000万到2的距离（指猜想中尚未完成的工作）相比于从无穷到7000万的距离（指张益唐的工作）来说是微不足道的。

如果张益唐的结果为正确的，那无疑是世界数学界的一大进展，其结果影响力甚至可能超过陈景润在哥德巴赫猜想方面所做的工作。

根据我一位朋友介绍，张益唐就读于北大数学78级，是当时最优秀的几个学生之一。网上关于张益唐的信息很少，只能查到他在UNH担任讲师（Lecturer）。这里，稍微讲解一下美国的学术体系。美国学术界的核心是终身教职系统（Tenure-Track），分为助理教授（Assistant Professor）, 副教授（Associate Professor）和教授（Professor）三个级别。

这些教授职位就是传统意义的学者，既进行教学活动，也进行科研（如果是研究型大学的话，是科研为主）。一旦获得终身教职（通常是在升到副教授时，少部分学校是到正教授时，也有部分是助理教授期间），这些教授就可以做任何自己想做的科研，即使没有经费，科研没有进展，甚至不再科研，学校无正当理由（如渎职、犯罪等）也不能开除他们。

因此，终身教职是学术界的核心精神，绝大多数数学家（除了在研究所工作的外）都会进入终身教职系统。

而讲师就差多了，是临时教学职位，收入比起同资历教授（包括助理教授）差很多，教学任务也远远比教授们重。科研上来说，则是完全得不到任何支持。

例如我所在的学校，讲师往往由不具有博士学位的教师来担任，教学任务是普通终身教职系统内教员的2-3倍。注意，美国的讲师和英国的讲师是不同的，后者是等价于终身教职系统内职位的。

无论如何，张益唐的职位都不是一个数学家理想的职位，可以说他是在讲师的位置上蛰伏了多年。引用香港浸会大学汤老师的说法，“（张益唐老师）从没有正式工作，（人们）以为（他）离开数学界了”。数十年磨一剑，终于发表了惊人的成果。

现代数学的新结果的验证往往需要很长的时间。因为所使用的新技巧，所涉及的专业知识往往都过于高深，以至于全世界只有一两位专家可以看懂。

而证明又可能很长，有时竟长达上千页，很多数学家要慢慢挤出时间来看他人的证明。即使发表在顶级数学杂志的结果，也可能时候发现有错。因此，包括我本人在内，许多人也在怀疑张益唐的结果是否正确。在这里，我只简单地将事实列出，留给数学界来评判。孪生素数猜想

一份30公分的意大利面包，纵向剖开，抹上金枪鱼泥，放上四片奶酪，放到烤炉烤一分钟，撒上生菜，铺上酸黄瓜和番茄，包起来，切成两半，就是又一个三明治。

这也是张益唐曾经蹉跎的岁月。

在博士毕业后，张益唐一直未能在学术界找到一份工作。为了生活，他不得不打工维持生计。从会计到三明治，他都做过。即使在他的同学帮助他，找到新罕布什尔大学的一份代课讲师工作后，即使在转正成为一名大受学生好评的讲师后，正式而言，他仍不是一名研究人员。

但数学无需官方认可，研究也不需要正式的职位。张益唐受过正式的数学研究训练，有扎实的功底，有充分的能力，知道怎么去做研究，心里也时刻揣着数学。即使没有正式的职位，他骨子里仍然是一位研究数学的学者。

2012年6月，张益唐到朋友家做客时灵光一闪，找到了思考了三年之久的开启素数间隔问题的关键性的突破。用新的方法，他证明了有无穷对素数，它们相差不过7000万。

他将他的新方法与新结论，用简洁明了的语言，写成了一篇论文，投稿到数学界的顶级期刊《数学年刊》。这篇论文名为Bounded gaps between primes（《素数间的有界间隔》）。

收到这篇论文的编辑想必十分意外。在一所不起眼的大学做着讲师的工作，在数学的研究共同体中也不活跃，之前一篇论文还是十多年前发表的，这样的一位默默无闻的数学家，突然声称自己解决了一个困扰众多学者几十年的问题，引起的第一反应自然是怀疑。

但毕竟，数学证明就是他学识的证明，他的论文写得如此清楚明白，而所用的方法又是如此合情合理，这冲破了原有的一点点怀疑。编辑认为，张益唐的结论很可能是对的，而他的方法对于解析数论而言，也可能是个重要的进步。

因为很多数学证明都相当艰深晦涩，即使是同一个领域的专家，有时也要花上一大段时间来咀嚼揣摩，才能断定证明是否无误。所以，数学论文的审稿时间通常不短，少则数月，多则数年，期间匿名审稿人通常需要通过编辑与作者多次通信，才能决定一篇论文的命运。

而张益唐的论文是如此激动人心，编辑认为他们等不起如此漫长的时间，于是对他的论文进行了“特殊对待”。他们请了筛法方面的大家Iwaniec教授与另一位匿名审稿人（可能是Goldston）来审核这篇论文，而且很快就有了回音。

两位审稿人都认为这篇文章没有明显的错误。实际上，评审报告中写着这样的评价：“论文的主要结果是第一流的”，“在素数分布领域的一个标志性的定理”。从论文寄出到审稿结束，仅仅花了三个星期的时间。

在张益唐的论文中，他给出的结果是，存在无数对相邻素数，它们的差相差不过7000万。但这个7000万只是一个估计，并非张益唐的方法能得到的最好结果。在论文出炉后，一些数学家在吃透新方法后，开始试着改进7000万这个数据。

张益唐的论文在5月14号面世，两个星期后的5月28号，这个常数下降到了6000万。在我写下这行的今天，剩下的只有区区的25万。

这些结果可以说是互联网的结晶。这样快的改进速度，对于仅仅依靠一年发行数次的期刊做研究的时代，完全是不可想象的。而在今天，数学家们在网上，不停发布最新的思考和计算，以最高的速度，汇聚所有人的智慧，才能创造出如此奇观。

张益唐带来的影响不止于此。

利用他的新方法，可以解决更多的问题。Pintz指出，从张益唐的工具出发，可以得知存在一个常数C，使得对于每C个连续偶数，都存在无穷对相邻的素数，它们的差是这些偶数之一。也就是说，Polignac的猜想，起码对于1/C的偶数来说是正确的。所以，不仅素数本身难以捉摸，它们之间的差更是剧烈起伏不定。

实际上，大数学家Erdős在1955年就猜测，相邻两对素数差的比值，可以要多大有多大，要多小有多小。而同样借助张益唐的工具，Pintz不仅证明了这个猜想，而且证明了比值之差以不低的速度趋向于两极分化。用他本人的话来说：在刚刚过去的几个月里，一系列十年前会被认为是科幻小说的定理都被证明了。

但孪生素数猜想本身又如何呢？我们知道，如果将张益唐论文中的常数从7000万改进到2，就相当于证明孪生素数猜想。既然现在数学家们将常数改进得如此的快，那么我们是否已经很接近最终的目标呢？

很遗憾，实际上还差很远。

张益唐的方法，本质上还是筛法，而筛法的一大问题，是所谓的“奇偶性问题”。简单来说，如果一个集合中所有数都只有奇数个素因子，那么用传统的筛法无法有效估计这个集合至少有多少元素。而素数组成的集合，恰好属于这种类型。

正因如此，当陈景润做出哥德巴赫猜想的突破性结果（1 + 2）时，他得到的评价是“榨干了筛法的最后一滴油”。因为如果只靠筛法，是无法证明哥德巴赫猜想的。（1 + 2）是筛法所能做到的最好结果。

但数学家们从不固步自封。要想打破“奇偶性问题”的诅咒，可以将合适的新手段引入传统筛法，籍此补上筛法的缺陷。张益唐的出发点——之前提到Goldston，Pintz和Yildirim的结果——正是这种新思路的成果。

但对于孪生素数猜想而言，这些进展仍然远远不够。学界认为，虽然不能断定张益唐的方法，即使经过改进，是否仍然不能解决孪生素数猜想，但可能性似乎微乎其微。

但不能低估人类的才智。发明割圆术的刘徽，他对于无知的态度更适合我们：

敢不阙疑，以俟能言者！