在2022年塔尔世界杯决赛中，阿根廷队凭借点球大战4-2的战绩击败了法国队，夺得本届世界杯冠军。双方在常规时间战成2-2，加时赛双方再次战平，以3-3进入点球大战。首轮法国队球员姆巴佩首先进球，梅西也顺利罚进；第二、第三轮法国队派出的科曼、楚阿梅尼均未能命中，阿根廷队则均未失手；第四轮蒙铁尔命中，最终阿根廷队获得冠军。

在今年世界杯 1/4 决赛中也出现了点球大战，克罗地亚队与巴西队在常规时间和加时赛中战成 1-1。比赛拖入点球大战。点球决胜首轮，克罗地亚队弗拉西奇罚进，而巴西队罗德里戈的点球被门将扑出（图 1）。

第二、三轮双方均命中点球。关键的第四轮中，克罗地亚队奥尔西奇主罚命中。而巴西队的主罚马尔基尼奥斯将球打在立柱上弹出球门（图 2），比赛就此结束，巴西队惨遭淘汰。此前的 1/8 决赛中，E 组出线的两支球队日本和西班牙也都倒在了点球大战上。

在点球大战中罚失点球的原因很多，但归结起来主要有两方面：门将扑救水平和主罚球员罚球的质量。点球射门的方向是影响罚球质量的重要因素。巴西队罗德里戈的点球（图 1）质量就不高，只要守门不出现判断失误，这种中下偏右的射门是相对容易守住的。

一记高质量的点球，除了要有力量外，还要有刁钻的角度。例如在 2018 年世界杯 1/8 决赛哥伦比亚对阵英格兰的点球大战中，哥伦比亚队主罚球员夸德拉多射向左上角的点球角度就非常刁钻（图 3）。这种情况下，即使守门员判断出了正确方向，也很难守得住。然而刁钻的射门角度又会带来另一个风险：球射到球门外或撞到球门框上（图 2）。

点球大战中，主罚球员到底应该往哪个方向射？研究表明^[1]，守门员容易扑救的范围是有限的，这个范围近似为一个半圆（跳跃包线）区域（图 4），我们称为“扑救区”，扑救区外的球门区域称为“死亡区”。根据每个门将身高、臂长以及反应速度不同，扑救区的范围又有大有小。

射向扑救区的点球被扑住的概率约为 50%，而射向死亡区的点球被扑住的概率只有不到 20%^[2]。因此，点球想要让对方守门员难以扑住，就应该瞄准球门左右两侧的死亡区。但为了不让点球射到球门外或撞到球门框上，又应该尽可能地让球远离球门左右两侧的立柱和上方的横梁。那有没有完美的点球瞄准点，既能让守门员难以扑住，又能最大程度确保球不射到球门外？请根据图 4 建立几何模型，确定出点球的最佳瞄准点。并根据文献^[3]提供的数据，验证你的想法。

从图 4 中不难看出，当我们将点球的瞄准点从球门的底角往上移动到顶角时，球门死亡区的宽度逐渐增大了。因此，球门左右两侧的底角并不是最好的选择。此外，低位射门时球还很容易触及地面，这会降低球的速度并降低守门员扑球的难度。因此，点球应瞄准死亡区较高的位置，并让球尽可能同时远离跳跃包线、球门横梁和立柱。为了找到这样的瞄准点，本文建立如图 5 所示的坐标系，其中  = 3.66 m 为球门的半长， = 2.44 m 为球门的高度， 为跳跃包线的半径，本文假定  = 2.85 m。从几何角度来讲，最满足条件的点是与跳跃包线、球门横梁和立柱同时相切的圆的圆心，即图 5 中的  点。在球门左侧对称的位置还有一个这样满足条件的点，下文仅以右侧的  点为例展开讨论。

要确定  点的准确位置并不难，假定其坐标为  ，根据图 5 中几何关系有将  和  代入上式并稍加整理可得上式是  的一元二次方程，由求根公式可知方程的两个根为将  =3.66 m， = 2.44 m 和  = 2.85 m 代入上式，可得一元二次方程的两个解： = 0.65 m 和  = 17.25 m。两个解对应的几何情况如图 6 所示，显然  = 17.25 m 并不符合实际情况。因此，我们取  = 0.65 m。这表明，我们要瞄准的目标点  位于距离球门横梁和立柱都为 0.65 m 的位置。当然我们也可以给出  的坐标 (3.01, 1.79)。

以上模型和求解过程对点球大战的主罚球员有参考意义吗？当主罚球员准备罚球点时，他们会去考虑一元二次方程吗？当然不会，而且也没有足够的时间考虑！

在实践中我们有更有效的方法来确定  的大致位置：0.65 m 差不多是一个正常身高守门员的臂长。如果让守门员以图 7 的方式站立在门柱旁， 点刚好位于守门员的头右侧一点点。包括女子足球在内的专业比赛中，守门员的身高都比较高。例如克罗地亚队门将多米尼克·利瓦科维奇身高 188 cm，而中国女足门将赵丽娜身高也是 188 cm。因此这种确定  点大致位置的方式既适用于男足，也适用于女足。

上文中几何模型给出了点球最佳瞄准点的精确位置，但我们没有足够精细的数据来确认这个精确位置。罚点球的运动员不会瞄准一个精确的点，而是一个大致的区域。几何模型确定的最佳瞄准点位于球门的右上角。因此，只要实际数据表明瞄准右上角的点球得分频率高于其它区域就能一定程度上证明几何模型的合理性。

接下来，我们通过分析 Kaggle 数据集^[3,4]来证明几何模型的合理性。该数据集给出了 1982 年至 2018 年世界杯点球大战中所有点球的数据。数据集将球门划分为左上、中上、右上、左中、中、右中、左下，中下和右下 9 个区域（图 8），并记录了每一次点球射向的区域和是否得分。通过对数据的简单统计，我们得到了球门各区射门的次数 ,  = 1, 2, , 9（图 9）。

从图 9 中不难看出，射向球门下部的点球明显高于中部和上部，这可能是因为瞄准球门底部相对容易和稳妥。射向球门左侧区域的点球数量明显高于中间和右侧区域，这可能是因为大多数球员都习惯用右脚罚点球。这两个原因的叠加，使得射向左下区的点球数量最多，而射向右上区的点球数量最少。

然而，瞄准一个区域的点球数量多并不意味着进球的次数就多。为此，我们还统计了射入每个区域得分的点球数量 ,  = 1, 2, , 9（图 10），结果表明，各区进球次数的分布与各区射门次数类似，也是下部高于中部和上部、左侧高于中间和右侧。

仅从每个区域的射门次数或进球次数并不能看出每个区域的射门成功率。但我们可以用每个区域的进球次数  除以射门次数  来计算出每个区域的得分频率：结果如图 11 所示。从图中不难发现，射向球门右侧区域的点球得分频率高于左侧和中间区域，这可能是因为大多守门员的左手不如右手灵活（注意：守门员的左右和主罚球员的左右是相反的）。

和我们预想的一样，左右两侧的进球频率高于中间区域，而左右两侧区域的上部得分频率也高于中部和下部。左侧区域的得分频率略低于右侧，这表明守门员左右手的差别会使射向左侧区域的点球得分频率略低于右侧。总而言之，射向右上区的点球得分频率最高、其次是右中和左上区。

本文旨在确定点球大战中最佳瞄准位置，以最大限度地提高点球得分的成功率。根据分析，最佳瞄准点应尽可能同时远离跳跃包线、球门横梁和立柱。为了找到这样的瞄准点，本文建立了几何模型，确定了最佳瞄准点是与跳跃包线、球门横梁和立柱同时相切的圆的圆心，并通过一元二次方程的求解得到了该点的精确位置：球门内距离横梁和立柱都为 0.65 m 的点。为了能在实践中应用模型的结果，我们还给出了一个快速确定最佳瞄准点大致位置的方法。

为了验证几何模型的结果，我们对 1982 年至 2018 年世界杯点球大战中所有点球的数据进行了统计分析。结果表明，左右两侧的进球频率高于中间区域，而左右两侧区域的上部得分频率也高于中部和下部。射向右上区的点球得分频率最高、其次是右中和左上区。这一定程度上证明了我们几何模型的合理性，因为几何模型给出的点球最佳瞄准点就位于球门的右（或左）上角。

[1]

Ken Bray. How to take a perfect penalty, 2014: https://www.youtube.com/watch?v=Bbxb9wyH_lw

Ken Bray. Hitting the spot, 2014: https://plus.maths.org/content/hitting-spot-euros

Kaggle. World cup penalty shootouts: Data for every penalty kick in a world cup shootout from 1982 to 2018, 2020: https://www.kaggle.com/datasets/pablollanderos33/world-cup-penalty-shootouts

Anish Ravilla and Ishika Sanghi. Deciding where to finish: The math behind the penalty shootout, 2021: https://www.bruinsportsanalytics.com/post/penalty_shootout

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来源：HiMCM

原标题：往哪射？点球大战最佳瞄准点！

编辑：利有攸往