迪杰斯特拉算法( Dijkstra算法)

迪杰斯特拉算法(Dijkstra)是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有权图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。

大概就是这样一个有权图，Dijkstra算法可以计算任意节点到其他节点的最短路径

---

算法思路

1. 指定一个节点，例如我们要计算 'A' 到其他节点的最短路径
2. 引入两个集合（S、U），S集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U集合包含未求出最短路径的点（以及A到该点的路径，注意 如上图所示，A->C由于没有直接相连 初始时为∞）
3. 初始化两个集合，S集合初始时 只有当前要计算的节点，A->A = 0，U集合初始时为 A->B = 4, A->C = ∞, A->D = 2, A->E = ∞
4. 从U集合中找出路径最短的点，加入S集合，例如 A->D = 2
5. 更新U集合路径，if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 则更新U
6. 循环执行 4、5 两步骤，直至遍历结束，得到A 到其他节点的最短路径

Dijkstra算法采用的是一种贪心的策略，声明一个数组dis来保存源点到各个顶点的最短距离和一个保存已经找到了最短路径的顶点的集合：T，初始时，原点 s 的路径权重被赋为 0 （dis[s] = 0）。若对于顶点 s 存在能直接到达的边（s,m），则把dis[m]设为w（s, m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大。初始时，集合T只有顶点s

然后，从dis数组选择最小值，则该值就是源点s到该值对应的顶点的最短路径，并且把该点加入到T中，此时完成一个顶点， 然后，我们需要看看新加入的顶点是否可以到达其他顶点并且看看通过该顶点到达其他点的路径长度是否比源点直接到达短，如果是，那么就替换这些顶点在dis中的值。 然后，又从dis中找出最小值，重复上述动作，直到T中包含了图的所有顶点。

---

算法图解

1.选定A节点并初始化，如上述步骤3所示

2.执行上述 4、5两步骤，找出U集合中路径最短的节点D 加入S集合，并根据条件 if ( 'D 到 B,C,E 的距离' + 'AD 距离' < 'A 到 B,C,E 的距离' ) 来更新U集合

3.这时候 A->B, A->C 都为3，没关系。其实这时候他俩都是最短距离，如果从算法逻辑来讲的话，会先取到B点。而这个时候 if 条件变成了 if ( 'B 到 C,E 的距离' + 'AB 距离' < 'A 到 C,E 的距离' ) ，如图所示这时候A->B距离 其实为 A->D->B

4.思路就是这样，往后就是大同小异了

5.结束

---

代码实现

伪代码

清除所有点的标号;
 
 设d[0]=0，其他d[i]=INF;//INF是一个很大的值，用来替代正无穷
 
 循环n次 { 
 
 在所有未标号结点中，选出d值最小的结点x;
 
 给结点x标记;
 
 对于从x出发的所有边(x,y)，更新d[y] = min{d[y], d[x]+w(x,y)
} 

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <stack>
using namespace std;
#define MAX 100
#define INF 0x3f3f3f3f
int dist[MAX], path[MAX];
struct MGraph
{
 int edges[MAX][MAX];//邻接矩阵，记录的是两点之间的距离，也就是权值 
 int n,e;//顶点数和边数
}G;
void init() {
 memset(G.edges, INF, sizeof(G.edges));//默认为INF
}
void insert(int u, int v, int w) {
 G.edges[u][v] = w;//
}
void printfPath(int path[], int a){
 stack<int> s;
 //这个循环以由叶子结点到根结点的顺序将其入栈
 while(path[a] != -1){
 s.push(a);
 a = path[a];
 } 
 s.push(a);
 while(!s.empty()){
 cout << s.top() << " ";//打印栈顶元素，实现了顶点的逆序打印
 s.pop(); 
 }
 cout << endl;
} 
void Dijkstra(MGraph g, int v, int dist[], int path[]){ //顶点默认从0到n 
 int set[MAX], min, i, j, u;
 //对各个数组进行初始化
 for(i = 0; i < g.n; i++){
 dist[i] = g.edges[v][i];
 set[i] = 0;
 if(g.edges[v][i] < INF){
 path[i] = v;
 }else{
 path[i] = -1;
 }
 } 
 set[v] = 1; 
 path[v] = -1;
 //初始化结束，关键操作开始
 for(i = 0; i < g.n - 1; i++)
 {
 min = INF;//找到的点 目前最小 
 //这个循环每次从剩余顶点中选出一个顶点，通往这个顶点的路径在通往所有剩余顶点的路径中是长度最短的
 for(j = 0; j < g.n; j++){
 if(set[j] == 0 && dist[j] < min){
 u = j;
 min = dist[j];
 }
 } 
 set[u] = 1;//将选出的顶点并入最短路径中
 //这个循环以刚并入的顶点作为中间点，对所有通往剩余顶点的路径进行检测
 for(j = 0; j < g.n; j++) {
 //这个if判断顶点u的加入是否会出现通往顶点j的更短的路径，如果出现，则改变原来路径及其长度，否则什么都不做
 if(set[j] == 0 && dist[u] + g.edges[u][j] < dist[j]){
 dist[j] = dist[u] + g.edges[u][j];//更新路径长度 
 path[j] = u;//更新路径顶点 
 } 
 } 
 } 
}
int main() {
 init();
 int n, m;//n个点，m条边
 int a, x, y, w;
 cin >> m >> n;
 G.e = m;
 G.n = n;
 for(int i = 0; i < m; i++){
 cin >> x >> y >> w;
 insert(x, y, w);
 }
 Dijkstra(G, 0, dist, path);
 printfPath(path, 5);
 for(int i = 0; i < n; i++) {
 cout << dist[i] << " ";
 } 
 return 0;
}

public class Dijkstra {
 public static final int M = 10000; // 代表正无穷
 
 public static void main(String[] args) {
 // 二维数组每一行分别是 A、B、C、D、E 各点到其余点的距离, 
 // A -> A 距离为0, 常量M 为正无穷
 int[][] weight1 = {
 {0,4,M,2,M}, 
 {4,0,4,1,M}, 
 {M,4,0,1,3}, 
 {2,1,1,0,7}, 
 {M,M,3,7,0} 
 };
 int start = 0;
 
 int[] shortPath = dijkstra(weight1, start);
 for (int i = 0; i < shortPath.length; i++)
 System.out.println("从" + start + "出发到" + i + "的最短距离为：" + shortPath[i]);
 }
 public static int[] dijkstra(int[][] weight, int start) {
 // 接受一个有向图的权重矩阵，和一个起点编号start（从0编号，顶点存在数组中）
 // 返回一个int[] 数组，表示从start到它的最短路径长度
 int n = weight.length; // 顶点个数
 int[] shortPath = new int[n]; // 保存start到其他各点的最短路径
 String[] path = new String[n]; // 保存start到其他各点最短路径的字符串表示
 for (int i = 0; i < n; i++)
 path[i] = new String(start + "-->" + i);
 int[] visited = new int[n]; // 标记当前该顶点的最短路径是否已经求出,1表示已求出
 // 初始化，第一个顶点已经求出
 shortPath[start] = 0;
 visited[start] = 1;
 for (int count = 1; count < n; count++) { // 要加入n-1个顶点
 int k = -1; // 选出一个距离初始顶点start最近的未标记顶点
 int dmin = Integer.MAX_VALUE;
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 if (visited[i] == 0 && weight[start][i] < dmin) {
 dmin = weight[start][i];
 k = i;
 }
 }
 // 将新选出的顶点标记为已求出最短路径，且到start的最短路径就是dmin
 shortPath[k] = dmin;
 visited[k] = 1;
 // 以k为中间点，修正从start到未访问各点的距离
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 //如果 '起始点到当前点距离' + '当前点到某点距离' < '起始点到某点距离', 则更新
 if (visited[i] == 0 && weight[start][k] + weight[k][i] < weight[start][i]) {
 weight[start][i] = weight[start][k] + weight[k][i];
 path[i] = path[k] + "-->" + i;
 }
 }
 }
 for (int i = 0; i < n; i++) {
 
 System.out.println("从" + start + "出发到" + i + "的最短路径为：" + path[i]);
 }
 System.out.println("=====================================");
 return shortPath;
 }
 
}

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max1 10000000 //原词条这里的值太大，导致溢出，后面比较大小时会出错
int a[1000][1000];
int d[1000];//d表示源节点到该节点的最小距离
int p[1000];//p标记访问过的节点
int i, j, k;
int m;//m代表边数
int n;//n代表点数
int main()
{
 scanf("%d%d",&n,&m);
 int min1;
 int x,y,z;
 for(i=1;i<=m;i++)
 {
 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
 a[x][y]=z;
 a[y][x]=z;
 }
 for( i=1; i<=n; i++)
 d[i]=max1;
 d[1]=0;
 for(i=1;i<=n;i++)
 {
 min1 = max1;
 //下面这个for循环的功能类似冒泡排序，目的是找到未访问节点中d[j]值最小的那个节点，
 //作为下一个访问节点，用k标记
 for(j=1;j<=n;j++)
 if(!p[j]&&d[j]<min1)
 {
 min1=d[j];
 k=j;
 }
 //p[k]=d[k]; // 这是原来的代码，用下一 条代码替代。初始时，执行到这里k=1，而d[1]=0
 //从而p[1]等于0，这样的话，上面的循环在之后的每次执行之后，k还是等于1。
 p[k] = 1; //置1表示第k个节点已经访问过了
 for(j=1;j<=n;j++)
 if(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])
 d[j]=d[k]+a[k][j];
 }
 //最终输出从源节点到其他每个节点的最小距离
 for(i=1;i<n;i++)
 printf("%d->",d[i]);
 printf("%d\n",d[n]); 
 return 0;
}