振动是周期运动，振动的状态由描述振动的时间周期函数来描述。而振动状态在媒质中的传播形成波，波函数一次性给出了所有质点在任意时刻的振动状态。所以，振动和波的核心内容是对振动状态的描述。

那么，振动和波到底是如何统一的描述振动状态的呢？

要对这个问题理解到位，你得先理解好相位的概念。

那么，什么是相位呢？

大多数人觉得它很抽象，其实，只要是周期运动，必然存在一种与位置(时间或空间)相关的量，它就是相位。相位取某个取值，就决定了系统处于某种状态。所以，相位看起来就像一个状态的标签。

拿月亮来说吧，由于它绕地球作周期运动，它在某个位置，就会显示一个特定的月相，所以只要看月相，就知道月球目前在哪里，速度是多少。

虽然本来月球的这些状态信息应该是时间的函数，但是月相本身就是时间的函数，而月球状态对月相的依赖是不变的，所以月相接管了时间的贡献，现在只需要根据月相来向系统汇报并产生系统信息就可以了。

如果用函数来解释，那就是，系统对时间的依赖函数  可以看成两个函数  和  的复合函数，即 由于  是确定的，所以  直接由  决定，这里面的  就是相位。

这就好比，国王不管事了，虽然看起来他的权力包裹着整个朝廷，但他只是产生一种一成不变的操作罢了，从他口中发出的各种命令都是来自于他的那个心腹大臣，他使什么脸色，国王就怎么输出指令，而不用管其他人怎么说。

所以，那个起决定作用的大臣的脸色就好比是相位。无论何时何地，只要看他脸色行事即可，看其他都没用。因为不同时刻不同地点，甚至不同天气，大臣的脸色可能会不同，也可能相同。

以上是根据相位的一般含义来讲的，是不是有点不太懂？没关系，下面再结合振动和波深入的阐述相位的含义。

01

用角的周期函数描述振动

众所周知，振动是物理量的状态随时间的周期变化，它是通过一个周期函数来描述的，例如周期为  的函数  。

该函数  是由相应的物理量所满足的时间演化规律决定的，例如在回复力作用下的质点所满足的牛顿第二定律。

虽然随着时间流逝，时间变量  的值在不断增加，但由于  是周期函数，所以每隔  的时长，物理量恢复为原来的状态。

你可能会想，这个周期函数  该长成什么样呢？

当然，它是由所属的方程决定的！但在不太清楚那个方程的情况下，它会有哪些可能的形式呢？

所有可能的周期函数中的某一个？

可以这么理解！但当你实际考察一下会发现，所有的周期函数实际上都归结于正弦和余弦函数的线性组合，这是所谓的傅里叶级数给出的结果。关于这一点的理解，可参看另一篇文章“为什么简谐振动是最基本的振动？”。

对我们熟悉的正弦和余弦函数来说，它们只接受角度作为自变量，周期为  。那么自然的，描述振动的函数也应该是以角度作为自变量，周期为  的函数。

现将其记为  ，它满足 但是，现在的变量明明是时间  啊！要转成角度？

没错！作为变量的时间  要能被一个周期函数  吃下，得先转化成角度的量才行！角度是一种没有单位的数，所以这就需要将时间  除以一个同样有时间单位的数  ，即 

注意到，在零时刻时，角度量不一定刚好就是零，可能有一个初始值  ，因此完整的转化应为 现在，  作为  的函数，吃下时间  后，吐出一个角度  ，送给函数  ，最终得到周期函数  ，即 

按照前面所讲，既然  的周期是  ，那么  的周期  为

因此 那么  关于  的函数现在可以写成 所以描述振动的函数  可以写成 

至此，我们得到了描述振动的函数  的一般形式。它由角度的函数  和时间的函数  复合而成。角度的函数  ——姑且称为外壳函数吧，它的具体表达式由振动方程决定。

02

相位：振动状态的决定者

对一个确定的振动来说，它的外壳函数  是确定的。因此，决定某个时刻  的物理量的振动状态的就是  的值。换句话说，面对函数  ,变量  取代了  对物理量的振动状态的决定作用。

可见，作为一个角度量，  是一个很重要的东西，我们称之为相位（phase）。它是时间的函数，它总是具有如下形式 

因为周期  总是正数，所以相位是随时间增加的。  是  时的相位值，叫初相。

为什么说相位决定了状态？很简单，既然外壳函数  确定了，  不就是那个决定者吗？

相位随着时间的变化是很简单的——它总是随时间线性变化，即 

它在某个时刻取什么值，则振动所描述的物理量的值 及物理量随时间的变化率的值 显然也就确定了！（注：函数  ） 

换句话说，当你得到了任意时刻的物理量振动的相位，只要将它丢入描述振动的外壳函数  及其导数中去，你就得到了相应时刻的振动状态——物理量的值及时间变化率的值。

若你面对的是一个确定的时刻  ，你将得到确定的振动状态；而若你面对的是任意时刻  ，你将得到描述振动的函数  。

由于相位随时间增加，两个具有同样的初相的振动，相位越大的那个，振动的时间长。所以，相位值不光能描述时刻，还能体现时间的积累效果。

例如，你无法从跑道上的两个人目前的位置来获知他们俩谁跑的路程多一些。要比较二者跑的路程，必须借助相位的值。因为相位实际上是一种时间的积累。

03

振动的周期、频率和角频率

作为描述振动的函数，  的周期  显然就是一次完整的振动——全振动所需的时间，称之为振动的周期。

这意味着，单位时间内，完成全振动的次数是 

这就是振动的频率。

相位作为时间的函数，它总是把时间换算成角度，由于  的周期是  ，所以每当相位新增加一个  时，就给出相同的状态。

所以，想象振动每经历一个周期的时间内，有一个沿逆时针旋转的矢量绕端点刚好转过  的角度，这个旋转矢量的角速度为 

我们称之为振动的角频率。它与频率  的关系为 现在相位可写为 根据旋转矢量的思想，  是旋转矢量零时刻时与  轴正向之间的夹角，而相位  是旋转矢量在任意时刻与  轴正向之间的夹角。

讲到这里，似乎猛然醒悟，原来，一切振动，背后不过总是对应着简单的绕圈圈这件事啊！的确，百转千回不过就是为了相遇嘛，没有无数个圈圈的组合，哪会造就世间万物的轮回？

现在，描述振动的函数可写为 既然描述振动的函数是周期函数，那么彼此相差时间  的时刻的振动状态必然是相同的，也就是说，相位和状态之间是多对一的映射关系，比如 与  对应一样的状态，我们称这种关系为同相。

由于  ，故  ，所以 也与  同相。实际上，这是显然的，因为  的周期正好就是  嘛！   

04

简谐振动实例

对最基本的振动——简谐振动来说，它所遵循的动力学方程为 根据高数知识可知，正弦和余弦函数的二阶导数与自身可组合为零，所以满足该方程的函数具有正弦或余弦函数的形式。用余弦函数表示为 

显然，简谐振动所对应的  为 所以，对简谐振动来说，所谓相位，就是cos函数里面的那一坨东西。

对于旋转矢量的物理图像，在简谐振动中是非常直观的。简谐振动的振幅保持不变，所以它的旋转矢量就是一个长度不变的矢量。

上面讲过，只要能得到一个振动的在任意时刻的相位，把它放进振动函数——现在是  ，就得到描述振动的函数。

我们来看一个例子。

假设某个点作简谐振动的振幅为  ，设它在  时刻的相位为  ，设角频率为  ，求描述该振动的运动学方程。

根据相位的定义， 故 故  时刻的相位为 由于简谐振动的函数形式为  ，将上面求得的  丢进去得这就是该点振动的运动学方程。    

05

波：相位的传播

波在媒质中传播时，振动的点并没有随之移动，那么它传播了什么呢？

本文最开始就说过，波是振动状态的传播，而现在知道，相位决定振动状态，所以波也就是相位的传播。

那么，相位是如何被传播的呢？

波的传播是沿着一定的方向，以一定的速度进行的，这个方向叫做波线，而这个速度叫波速，用  表示。它的定义是：波的振动状态在单位时间内沿波线向前传播的距离。

既然相位决定状态，那么波速也就是相位在单位时间内传播的距离。

可以看到，波速这个概念与之前学过的速度不同，因为它不是实际物体的运动速度，它是相位传播的速度，因此也叫相速度。

顺便说一句，既然相位不是物质，那么相速度的大小不受相对论约束。

讲到这里，你可能会觉得，相位既然不是物质，那波传了个寂寞？

非也！波既然将振动状态传播给前方的媒质，如果这个振动本身具有能量——例如电磁波和机械波，那么能量也被传过去了，不过那个传播速度是另外一个速度——群速度。

至于相速度和群速度的关系，是比较复杂的，有时候它们是一致的，有时候差很远。一般来说，相速度是由媒质的性质决定的。对特定的波来说，在均匀的各向同性的媒质中，相速度是一个定值。

好了，继续看相位的传播问题。假设  时刻，某已知点  的相位是 

设某点  在  沿波线方向的前方，二者之间的距离为  ，则相位从  到  需要的时间为 这说明，当再过  的时间，  的相位就传到  了。 

换句话说，  在  时刻的相位  就是  在  时刻的相位。而反过来，  在  时刻的相位  就是  在  时刻的相位，也就是 

据此，基于一个相位已知的点，求另一个沿波传播方向的点的相位，只要将已知点的相位减去它们之间波传播所需的时间乘以  即可。

如果将  的表达式代入得 据此，基于一个相位已知的点，求另一个沿波传播方向的点的相位，只要将已知点的相位减去它们之间的距离乘以  即可。这表明未知点的相位比已知点的相位小，这被称作相位滞后。

上面都是假设未知点在已知点沿着波传播的前方，如果未知点在已知点沿波传播的反方向上，那么未知点的相位对时间的积累更长，它的相位比已知点的更大，被称作相位超前，此时只要将上面式中减号换成加号即可。

06

如何得到波函数？

振源所产生的振动在媒质中传播时，是靠媒质来传递的。当媒质均匀时，前一个位置处振动函数的形式，也就是那个函数  ，必定也被下一个位置所遵循，因为均匀的媒质必然导致所有点遵循的振动规律是一样的。

那么，一旦你获得了某个点的相位，只要把相位放进那个共同的函数  中去，就获得了描述这个点的振动的函数，以兑现“相位决定状态”这句话的价值。

例如上面例子中的点  的相位为 那么它的运动学方程就是  （注意，因为  已经用来表示振动的点在波线上的坐标，所以用另一个变量符号  ），也就是 

设  轴从  指向  ，则 故方程也可写为 

既然  是任意的，这个函数表示了任意点的在任意时刻的振动情况，那么它就等于描述了媒质中的全体质点的振动情况，把它作为描述波的函数就是不二选择，我们称之为波函数。

由于波函数是通过求任意点的运动学方程来获得的，它们共用同一个周期函数  以及常数  ，那么自然的，波也就拥有了与振动一样的周期和频率。

从以上分析过程可见，只要求出一个任意点  在任意时刻  的相位  的表达式，然后把它丢进振动的角度函数  中，即可得到对应的波函数。

07

波长的概念

现在可以讲一下波长  了。

根据波长的定义，波长是指，波线上，两个状态相同的点之间的最短距离。既然相位决定状态，那么波长也就是两个同相点之间的最短距离。

根据第5节所讲，相位差  与距离  的关系为 而等相点之间相位差为  （不懂？请看第3节），故 所以波长就是周期与波速的乘积，换句话说，波长就是波在一个周期内沿波线传播的距离。

有了波长的概念，那么上述波函数也可以写成 

对  函数描述的简谐振动来说，振动在媒质中传播所得到的简谐波的波函数自然就是 画出某时刻的波形图如下

08

相位传播的物理图像

波函数在时间上和空间上都是周期函数。时间上的周期就是振动的周期，空间上的周期就是波长。沿着波线方向，相位依次落后——减小；而沿着波线反方向，相位依次超前——增大。

对于波来说，它的相位不仅与时间有关，也与空间有关。相距一个波长的点，相位是相同的。而相距一个波长以内的点，其相位是不同的。

如果空间中所有点都是齐步运动，那它们的相位相同，也就不存在相位传播了，例如下面这种情况

既然相位完全相同，就不需要相位传播，也就不是本文中所说的波了。当然，你大概没看到有哪个国家的阅兵式会来个波式走步，如果真这样玩，那估计也挺折磨人的，就像下面这种

如下图所示的三个波，黑色线代表的波没有产生相位的传播。实际上，它是由两个相向而行的等幅相干波——即图中的红色和蓝色波，叠加造成的所谓“驻波”。

为了区别于这种特殊的波，存在相位传播的波也被称作“行波”。如下图就是一列向右行进的行波。

注意，行波中移动的是相位，媒质只是在平衡位置附近振动。如下图所示简谐横波，盯着某个点看，你会发现它只是上下振动，并没有向右移动。

对某个行波来说，其相位沿波线以波速  传播。如果你跟着这个速度一起沿着波线同行，你就不会发现相位由改变，因为你每走一步，都带着你当前位置的相位一起抵达下一个位置，你永远面对一样的相位。

这样看来，虽然相位不是一种物质，但你的确能体会到一种相对静止的感觉。受此启发，少年时期的爱因斯坦曾经想象，如果能与光同行，就会看到静止不动的电场和磁场强度矢量。这就是著名的“追光”思想实验。

但相对论告诉我们，这是不可能实现的！

根据狭义相对论，光的波速在中真空中是常数  。即使你沿着电磁波的波线方向以接近光速（先不说这可不可能）运动，你看到的光波的波速保持不变，所以你永远无法看到静止的电磁波。

之所以这样，是因为在高速运动的条件下，速度的相对性不再满足伽利略相对性原理，而是遵循相对论的基本假设之下的新的时空变换——洛伦兹变换，它是狭义相对论的基本假设所必然导致的。