计算π的方法有很多，前两天看到一个有意思的方法：蒙特卡洛方法（Monte Carlo method）。其实这种方法由来已久，它的思想是根据某项问题建立一个概率事件，通过随机采样来对实际值进行估算。

它的一个简单示例就是估算PI值。如下图：构造一个正方形和一个1/4圆，在整个区域内随机投入点，根据投入点到原点的距离判断是落在圆内还是在圆外。落在圆内的概率其实就是1/4圆与正方形面积比：π/4。

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博途仿真结果

样本数量n为100000

程序实现

新建FC块，添加变量

#n1 := 0;     // 程序变量初始化
FOR #i := 0 TO #n DO
  // 利用LGF库内的随机实数程序，生成在0.0-1.0范围内的实数并赋值
  #x := "LGF_RandomRange_Real"(minValue := 0.0, maxValue := 1.0, error => "Tag_17", status => "Tag_18", subfunctionStatus => "Tag_12");
  #y := "LGF_RandomRange_Real"(minValue := 0.0, maxValue := 1.0, error => "Tag_19", status => "Tag_13", subfunctionStatus => "Tag_20");
  // 样本如果处于圆内，则计数加1
  IF (#x*#x + #y*#y)<1.0 THEN
      #n1 += 1;
  END_IF;
END_FOR;
#Pi := 4.0*DINT_TO_LREAL(#n1)/DINT_TO_LREAL(#n);    //π=4*n1/n

投入点坐标x、y由伪随机实数生成程序"LGF_RandomRange_Real"生成。官方提供了包含该程序的LGF库(Library of General Functions)。百度网盘：https://pan.baidu.com/s/1rqweR87IHYpPkIRzi_MTaQ 提取码：1210

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仿真曲线：

使用博途仿真的结果其实并不稳定，以下分别坐标x、y和π的曲线：

坐标x、y的取值

π的估值

可以看到，x、y的值有时趋势完全一样，π的估值则明显有周期性，大概一分钟。了解博途随机数生成原理的应该知道，它是通过读取时间里的纳秒经过换算得到的。

这其实也验证了：PLC乃至计算机不会产生绝对随机的随机数，只能产生“伪随机数”，这里的“伪”是有规律的意思。

还有一点，同样的程序，在不同的电脑上π的仿真结果并不一致（公司：π在3.22附近；家里：在3.04附近）。搜索了一下相关问题，有这么句话"仿真是基于操作系统的，它的循环时间与实际PLC硬件运行时并不一样。" 难道是因为电脑配置的不同？受循环周期的影响？

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使用Python：

同样的程序转到Python上运行一下，误差稳定且小了很多。猜测可能随机数的选取或者程序运行流程更加合理吧。

有兴趣的可以下载个软件试试，这里使用的是PyCharm，纯计算，没啥复杂度，我也属于现学现用。

from random import random
from math import sqrt
n = 100000        # 样本总量
n1 = 0            # 落入圆内数量
for i in range(1, n):
    x = random();
    y = random();
    if sqrt(x**2 + y**2) <= 1.0:
        n1 = n1 + 1
pi = 4.0 * (n1/n)
print('Pi的值为 %s' % pi)

样本量同样是100000

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总结与后续：

以上的蒙特卡洛方法算是一种统计模拟方法，在求解微分方程，多重积分，特征值等方面应用也很多。它将确定性问题转化成了随机性问题，采样越多，越近似最优解，但永远不是最优解，某种程度上丧失了精确性。

以下是一些关于π的公式（使用PY的计算结果就不贴出来了）：

莱布尼茨公式：

arctan(1) = π/4，带入1即可

sum=0
i = 0
for i in range(0, 1000000):
    if i % 2 == 0:
     sum += 1/(2*i+1)
    else:
     sum -= 1/(2*i+1)
pi=4*sum
print('Pi的值为 %s' % pi)

Machin_梅钦(马青)公式：

import math
pi=16*math.atan(1/5)-4*math.atan(1/239)
print('Pi的值为 %s' % pi)

直接使用现成的反三角函数

sum=0
i = 0
b = 1
for i in range(0, 5):
   sum += 16*(1/5)**(2*i+1)/(2*i+1)*b-4*(1/239)**(2*i+1)/(2*i+1)*b
   b=-b
pi=sum
print('Pi的值为 %s' % pi)

欧拉：

sum=0
i = 0
for i in range(1, 1000000):
   sum += 1/(i*i)
pi=(6*sum)**0.5
print('Pi的值为 %s' % pi)

拉玛努金：

k=0时，π≈9801/1103/2/2**0.5=3.1415927300133055；

k=1时，π≈9801/2/2**0.5/(1103+24*(1103+26390)/396!)=3.1415926524195665；

这个我们欣赏一下就行了。

改进型：

k=0时，π≈10005**0.5*426880/13591409=3.141592653589734；

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高斯-勒让德-迭代算法

迭代的过程对于计算机来说简直太适合了。

import math
a=1
b=1/(2**0.5)
t=0.25
p=1
i=0
for i in range(0, 3):
  a1 = (a+b)/2
  b1 = (a*b)**0.5
  t1 = t-p*((a-(a+b)/2)**2)
  p1 = 2*p
  pi = ((a1+b1)**2)/(4*t1)
  a = a1
  b = b1
  t = t1
  p = p1
  i=i+1
  print(f'迭代{i}次的π值为：{pi}')

迭代1次的值为：3.1405792505221686
迭代2次的值为：3.141592646213543
迭代3次的值为：3.141592653589794

神奇的π：

欧拉恒等式：

爱因斯坦场方程：

黑洞温度（霍金）：

人生苦短，当有所钟！