绝对超乎

你的想象

Q：

最近在学习时观察到正弦函数应用如此广泛：数学中的一大批公式、物理学上的简谐运动等等、自动控制里的频域分析等等、电气工程中的交流电等等，为什么各个领域的这么多公式定理都用到了正弦函数？

这远远超出了我们一开始接触正弦函数时——“直角三角形对边与斜边的比值”——一种三角函数的定义了吧，这是为什么呢？能否讲解一下，或者举例说明正弦函数在某个领域里的神奇应用呢？

A：

很有趣的问题。

正弦就是直角三角形某角的对边与斜边之比。我们来看下图：

左图中我们看到了一个直角三角形，并且A是锐角φ的对边，于是就有了图中的定义，即：

并由此推得：

现在我们让角度φ旋转起来，然后在右图中的坐标平面上绘制出它的高度曲线，我们就得到了正弦曲线。我们看到，正弦曲线的高度是在A和-A之间变化的。

看起来，正弦似乎只有数学上的意义。其实不然，我们来看几个应用吧：

1.流体力学

上图中我们看了一只风筝。当气流从右往左水平作用于风筝上时，由于风筝是倾斜的，它与气流方向存在一个角度，于是气流就对风筝产生了向上的作用力，也即升力。

类似的，包括飞机、赛车等等，都和这只风筝有点关系。

在这里，我们看到了角度、水平作用力和升力等诸多参数，它们之间就存在正弦（包括余弦在内）的关系。

由于风筝迎着气流的正面和背着气流的反面空气的压强不同，气流的作用力当然也不同，这属于流体分析的范畴，于是这个问题又与流体力学挂上了钩。

例如前一张图中的赛车，它尾部的压气板弯曲部分是朝下的，于是压气板会产生一个向下的作用力，而且赛车速度越快，这个压力就越大，其目的就是增加轮胎对地面的附着力。

由此可见，正弦关系在流体力学及流体作用力方面起到很重要的作用。

2.各种交变量

日常所见的交变量非常多，最典型的就是交流电。

从左图中，我们看到绕组在空间中的旋转情况，绕组感应出来的电压是空间角度的函数，当然也是时间的函数。由此可知，电压值一定与时间与频率都有关系，于是我们的主角，正弦量再次出现。

电压值与时间有关，也就是说，电压可以表征为时域特性，也即拉普拉斯变换；同时，电压也可以表征为频域特性，也即傅里叶变换。这些都属于复变函数的内容。

正因为分析电气理论用三角函数特别方便，所以专门配套了相量分析法。注意哦，这里的相量不是向量，当然也不是矢量。

3.三角函数与工程测量

这里面的应用就非常多了。

例如我们面前有一棵树，我们想知道这棵树有多高，我们可以采用下图的测量方法：

这里的h就是树的高度，α是角1，β是角2，M是两个测量点之间的距离。

事实上，工程测量是一门很大的学问。它包括普通的物体测量，例如机加工时的加工件尺寸测量，也包括海拔高度的测量，以及地形勘测、测量和绘制。测量所用的设备既可以是最常见的钢卷尺，也可以是卫星测量。它牵涉到测量精度的处理等等，真正是一门高大上的学问。

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总而言之，正弦函数的应用真是超乎想象，其应用面不甚枚举。