作者：赖以威（台湾师范大学电机系助理教授）
我向来对于高声嚷嚷着“客人至上，服务第一”的口号，有种无法完全信服的感觉。毕竟说起服务这种事情，应该不是以“让客人感受到的程度”为指标。举例来说，逛街时要是专柜小姐一直如影随形地跟在一旁，贴心介绍每一件你只有食指碰到的商品，再拿五种颜色让你试穿，虽然服务周到得没话说，压力却也大得让人没办法说话。最极致的服务，应该要让客人以自己喜欢的方式，从事喜欢的行为，完全察觉不到正在被服务。
就这点来说，我认为可以跟复印机里的A4纸学习服务的精神。
利希腾贝格比例
A4纸是生活中最常用的纸规格。A系列的纸张规格特色在于：
A0、A2、…、A5，所有尺寸的纸张长宽比都相同。
A0对裁后可以得到2张A1，A1对裁可以得到2张A2，依此类推。
这两项特色让A系列规格的纸张非常好用，画在A4纸上的图画可以等比例放大到A0海报上。手边只要有某一款A系列的纸，即能做出任意大小的A系列。但事实上不是任意一张纸对裁，都可以得到比例跟原来的纸一模一样的两张纸。只有A系列纸张特殊的长宽比——利希腾贝格比例（Lichtenberg ratio）的特殊比例，才能带来这种特性。
举实际的数字给各位看：A4是21厘米×29.7厘米，29.7/21 =1.41；A5是29.7/2 = 14.8厘米×21厘米，21/14.8= 1.41；A0是84.1厘米×118.9厘米，118.9/84.1=1.41，都趋近于。
换句话说，我们都享用了利希腾贝格比例的好处，却很少人知道利希腾贝格比例是什么，某种程度上，这就是最极致的体贴，让人享用到它的好，却察觉不到它的存在。
嗯，我不是在讲女性用品广告台词，虽然两者间很相似（以每一种距离来说都是）。
躲在A4里面，还有更了不起的比例
黄金比例（golden ratio）1.618可以称之为比例之王，不管从Google搜寻或被应用的范围来说，它都是最常见的比例。不过，事实上还有类似黄金比例的比例，和利希腾贝格比例一样隐藏在A4纸里面，名字刚好跟《圣斗士星矢》里圣斗士的阶级相同，是黄金圣斗士之下的白银圣斗士，不，白银比例（silver ratio）——2.414。只要以A4纸的短边为边长，划出一个正方形并裁掉，剩下长方形的长宽比即是白银比例。我们可以验证一下，A4纸的长宽比是，用短边划出正方形并裁掉后，剩下长方形的长宽比将会是1: [] = 2.414。
我们也可以把白银比例表示成，它和（）/2的黄金比例有许多相似之处。例如，他们都和某个数列有关。先前介绍过黄金比例和费波那契数列（Fibonacci series）：1、1、2、3、5、8、13、21、…。后一组数字除以前一组数字，便可以得到近似于黄金比例的比值。白银比例则用上了佩尔数列（Pell series）：1、2、5、12、29、…。拿前后两组数字相除，可以得到2、2.5、2.4、2.41、…越来越接近白银比例2.414。我们可以用图形的方式来解释，为何费波那契数列和佩尔数列中产生黄金比例或白银比例。
首先，费波那契数列的第n组数字是前两组数字的和，意即Pn = Pn-1 + Pn-2，例如21=8+13。佩尔数列的第n组数字前一组数字的两倍加上再前一组数字，意即Pn = 2Pn-1 + Pn-2。例如29=12×2+5。再将费波那契跟佩尔数列的递归表示法除以Pn-1，可以得到
Pn/ Pn-1 = 1+ Pn-2/ Pn-1
Pn/ Pn-1 = 2 + Pn-2/ Pn-1
第一个式子表示，大的黄金比例长方形是一个正方形加上一个小黄金比例的长方形。
第二个式子则是，大的白银比例长方形可以由两个正方形，加上一个小的白银比例长方形组合而成，如下图所示：
图示由作者提供
白银比例的服务精神
利希腾贝格比例让纸张的使用更加便利，黄金比例跟白银比例的用途更广泛，其中之一是在艺术上的贡献。例如下面的绿色菱形，对角线的长宽比刚好是白银比例，因此可以用方才的几何规则“两个大的加一个小的”，将三个这样的菱形，其中两个横放，三个并排，制造出一个等比例放大的蓝色菱形，放大的比例刚好是白银比例。
图示由作者提供
这种特殊的菱形与正方形，是下图复杂的伊斯兰风格拼贴镶嵌的基本元素。
图示由作者提供
比起一般地板磁砖的正方形，或蜂巢状的六角形镶嵌，这种镶嵌更华丽美观。这么复杂的镶嵌，除了基本构成的菱形需要白银比例，镶嵌过程也需要用上白银比例，最后构成的众多正八边形里，依然也有白银比例。
可以看见，白银比例一样提供了最佳的服务，让使用者察觉不到，却因为它获益良多。最起码豪宅里使用了这种镶嵌技术（Ammann-Beenker tiling）的土豪一定不知道背后有白银比例，不然他铁定会把设计师叫过来臭骂一顿：
“为什么不用黄金比例，要用白银比例呢？！”
有噢，有黄金比例的镶嵌，称之为彭罗斯拼图（Penrose tiling），数学可是最有服务精神，服务最周到的科学了。