概率与似然

一对好伙伴

世界杯已经进行了半个多月了，早已经有黑眼圈了。

这届世界杯真是冷门频发，转折不断，可谓精彩纷呈，有人欢喜有人忧。有人中大彩，有人上天台。

（你个几百块钱的就不要挤上来了）

世界杯球赛的结果是如此错综复杂，以致于很少有人能够准确地预测出每一场球赛的结果。

在这种变幻莫测的运动赛事中，当然离不开

概率

。今天，超模君就从世界杯球赛的角度来简单介绍下概率以及他的好基友——

似然

。

那么先来说大家是如何判断一场比赛的结果呢？

一般大家会通过各种

信息

，如比赛队伍双方世预赛或者其他赛事的输赢情况、进球数等等判断双方的综合实力，将这些已有的信息称之为

参数

。根据这些参数，就可以对比赛结果进行推测，得到比赛

各种结果的可能性

，这就是概率。

举个相对简单的例子，一场球赛开赛前，裁判会通过掷硬币的方式决定双方的场地选择权。

把硬币的正面朝上出现的概率称为硬币的参数。假设硬币是完全公平的，则硬币正面与反面出现的概率是相同的，都是0.5，即硬币的参数是0.5。

于是可以推测，投掷10次硬币，出现5次正面朝上的概率是：

这种根据已有信息即参数推测结果的各种可能性的方式就是

求概率

。

那么似然又是什么呢？

“似然”

这个词是对英文likelihood的一种较为贴近文言文的翻译，用现代的中文来说就是“可能性”。

概率是在

已知

一些参数的情况下，预测接下来的观测所得到的结果。

而似然则是用于在已知某些观测所得到的

结果

时，对有关事物的性质即参数进行估计。

比如说，在掷硬币之前，我们并不知道硬币是否是公平的，对硬币自身的性质即参数

一无所知

，但我们可以根据掷硬币的结果推测出硬币的大致参数，这就称作似然。

再粗略举一个比赛中的例子，小组赛F组德国对阵墨西哥。根据德国是上届世界杯的冠军，而墨西哥止步于十六强，可以推测德国队综合实力比墨西哥队强的概率为“高”，即参数为“高”。

进一步收集更多的信息，发现德国在预选赛取得全胜的优异战绩，墨西哥则是5胜2平1负。所以，进一步推出参数为“很高”。

再看看先前两队的交战情况。历史上，两队在世界杯交手3次，德国保持不败。1978年世界杯小组赛德国6-0大胜墨西哥。1986年世界杯1/4决赛，两队120分钟战成0-0，点球战德国4-1胜出；1998年世界杯1/8决赛，德国2-1逆转墨西哥。于是，可以认为参数最大的可能性为“极高”，也就是说，德国队最有可能比墨西哥要强很多。

这种通过已有结果信息，对原参数进行推断，称作似然。而推测出

最可能

的参数值，称为极大似然估计。

我们会有这样的感觉，当已有的结果信息越多时，即实验结果越多，得到的参数可能就越明确。

再举个例子，出乎人的意料，强大的德国队败给了墨西哥队。如果只根据这一结果对参数进行推测，就推出了参数最有可能为“低”，即德国队综合实力最有可能没有墨西哥队强。

这种说法显然有些片面，但这就是似然的本质逻辑。

实际上，当实验结果越来越多时，推测出的参数值就会更精准。

我们对掷硬币的例子进行具体分析，掷10次硬币，发现有6次正面朝上。

我们对该硬币的性质一无所知，所要推测的就是其最可能的参数值。假设这枚硬币是完全公平的，即硬币的参数是0.5，由此计算出以上实验结果出现的概率为:

当然，硬币也有可能是不公平。设硬币的参数为0.6，则实验结果出现的概率是：

可以看出，参数为0.6使得实验结果出现的概率要比参数为0.5时的大，即以0.6作为参数的可能性更大，该硬币更倾向于是不公平的。

为了进一步推出最可能的参数值，进行极大似然估计。设硬币的参数为

，则似然函数为：

作出似然函数的图像：

从图像中可以看出，参数值为0.6时，概率最大。D(0.6,0.25)为极值点。当参数值大于或小于0.6时，概率逐渐递减。0.6为最可能的参数值。

所以要进行极大似然估计，就是要找到似然函数的极值。

增加实验次数，设已知50次投掷结果，求出现30次正面朝上时硬币的参数，似然函数的图像如下：

从图中明显可以看出，似然函数大于0的范围收缩了，也就是说，可以选择的参数值的分布更加集中了。

随着已知实验结果的增多，我们对事物的性质越来越

了解

，参数也会越来越

明确

。

极大似然估计法教会了我们世界压强队更容易赢，但却没告诉我们这届世界杯爱爆出冷门，你看，德国、阿根廷、葡萄牙、西班牙都回家了，其他所谓的强队还会远吗？