论数学老师是

怎样教音乐的

Q：为什么中国古代的音乐只有宫、商、角、徵、羽五个音，而西方是Do-Re-Mi-Fa-So-La-Ti七个音？这样的差别又会对音乐本身产生怎样的影响？

A：这个"只"字很微妙啊，似乎有种五音不及7音的感觉，黄钟大吕了解一下，12音级...

音级越多越高级？没有这回事。

某种程度上说

音符是算出来的，音级可以任意多。。。

5个7个区别只在于迭代的次数不一样。

往下算还能算出12个，这是现在常用的十二平均律的原型。

再往下算甚至可以有19个，53，665个等等，不过太多了没法玩了...

这个问题问的非常好，从这个问题开始能讲清楚俩最基本的概念：

音级和音程。

声音说到底就是振动，振动的速度可以用频率表示。

现代研究表明，人耳的敏感程度与声音频率大致呈指数关系。

举个例子：对人耳而言，220Hz 到440Hz之间的差距跟 440Hz 到 880Hz 之间相同。

所以就给他们相同的音名比如A，然后划分为不同的音域。

虽然古人不懂物理和生物，但是他们还是不约而同依据经验发现了这个现象。

每当声音的频率翻倍，那我们就记他为一个单位，

西方叫八度，东方叫均。

现代研究又表明，同时发俩音的话，

波形越有规律越好听。

其实没有最难听，只有更难听....

谔谔，数学上来说就是俩函数加和周期小，周期就是比值的最小公倍数呗：

参考文献[^1]

古人同样的，成功发现了这个道理，古人是不懂频率，但是他们也可以听出音高不是...

可是他们发现了一个 2:3 很好听，这个今天叫做

纯五度

。

好的，可是只有两个音太单调了不是，还能不能细分出更多的音呢?

于是就有了

五度相生律

，每次升纯五度，产生一个音，因此得名。

基准音频率设为 F，纯五度很好听，也就是和基准音F组合的时候很好听。

那么同样的道理和组合是不是也很好听啊?

但是注意这个超过两倍了，前面说了一个八度两倍频率，这里超了。

那怎么办呢? 还记得频率二倍感觉相似吗? 那除二不就行了?

所以第三个音符算出来应该是

, 以此类推, 算n次的音符是

我们取前7个，排个序，给他7个编号就行，按现在的记法，习惯基准音选为C，那就是 CDEFGAB.

还没完啊，凭什么算7次，不多算也不少算?

你是可以随便算几次.

但你每次频率按这个倍增至少要能回去不是?

如果取5个音乘起来，听起来和倍增3次相似，压回去听起来还行.

取六个音，你准备怎么压，你说压三次还是四次好....

同理如果是7个音近似的压4次就好，12 个音乐，压7次就好...

这是2000年前古希腊的

毕达哥斯拉学派

的成就。

下一次两个指数偶遇要到41，41 其实不怎么好，再下一次是 1.553= 2151972563 ≈ 2147483648 ，程序员一眼就能看出后面是多少次方了>>逃...

2000年前西汉学者京房算出了这个...可是显然没人用的啊...

再下一次...

停，这个涉及

丢番图逼近

，再说变成数学课了，难道现在还不够像数学课吗>>逃

其实很简单的，就是求

的线性逼近，解由连分展开式所表达.

看到那些熟悉的数字没，丢番图，距今1800多年

好吧为什么没有7，这个更复杂了，因为最佳逼近要和周围比，7 没有12好，至于为什么会这样....

啊啊啊，就这样，别逼我，我现在不想上数学课...

还有一个问题，为什么非要压回去，因为基准音没有定死，这样随便你怎么平移，这个倍数关系可以保持，你可以迁移到任意的调子上。

虽然现在定了 A1=440Hz，仪器甚至可以数出频率，但古代那是随便搞个东西敲下，然后按这个音高去配。所以可以想象，古代不同地方产的乐器是很难合奏的，基准音都不一样。

同样的，2400多年前，中国先民差不多发现了这个，春秋时期的结果。

《吕氏春秋·音律篇》记载了算到12的版本，成语黄钟大吕听说过吧，就是这个体系里的，算到5的版本就是宫商角徵羽，算到7的有

变徵，变宫

啥的，别告诉我你背课文没背到过这个词...

唤起你沉睡的高考回忆>>

《荆轲传》: 高渐离击筑，荆轲和而歌，为变徵之声，士皆垂泪涕泣。

三分就是分成三份，损就是减少，所以是

，益就是增加，所以就是

，算法复杂，似乎没有通式...

三分损益法只是思想和五度相生律类似，算法和结果都是不同的，不过很接近，毕竟乐理是相通的...

百度百科在让我失望这件事上从来没有令我失望过....

最后，作为一个现代人...告诉我怎么按比例等分?

开方啊，不就等比数列吗...

可几千年前的古人没法算开方，快速开方的算法至少要到500多年前对数的发明之后...

2开方是无理数，无理数的发明者，被上面的毕达哥斯拉学派扔进海里喂鱼了...

按照开方的算的比率叫做十二平均律，大明王爷朱载堉靠丧心病狂的超大珠算搞定了这个东西，同年伽利略他爸也在算这个但没算出来...

后来巴赫将十二平均律发扬光大，这是几十年后的事情了

现在的七音默认是重新按照十二平均律标定的频率.

否则会说明是五度相生律还是一种叫纯律的古典常用律法还是民乐里的某种律.

所以音符音级应该懂了，那么音程也很好懂了.

其实就是俩音对数之差值呗.

在12平均律下

，音程都是1/12，一般叫一个 半音

所以半音是十二平均律的说法，纯八度，纯五度，小二度这种是沿用五度相生律的说法

还有搞不明白升降调同不同为什么总能吵起来，体系不同有啥好吵的：

五度相生律中

升F不等于降G

，音之间的间隔音程是不固定的(升降有两种)

十二平均律下

升F就等于降G

，升降只有一种音程

十二平均律并不是绝对的更好，因为破坏了纯五度这个古典时代非常重要的标尺，纯五度算出来只有 1.498，还是个无理数，理论上，听起来会微微的差那么一点...

有没有更细分的音呢?

有的，电子音乐可以无视种种物理缺陷，所以用的比较多，这叫

微分音乐

听起来更加细腻，突破了琴键的限制，再也没有琴弦里漏掉的音...

不过有的人就是喜欢听物理缺陷，也挺难办的，软件还硬得模拟这种不完美...