对于一维、二维乃至四维的数字，人们都不陌生：一维的实数一直都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。然而，最为复杂的数字形态——八元数，八元数是四元数的一个非结合推广，通常记为 O。八元数在诸如弦理论、狭义相对论和量子逻辑中有应用。它又与现实世界存在着怎样的关系呢？

剑桥大学的数学物理学家 Cohl Furey 正在寻找粒子物理标准模型和八元数之间的联系。八元数的乘法规则被编码在被称为法诺面的三角图中。

包括本文的主人公，剑桥大学数学物理学家 Cohl Furey 在内的一些科学家相信，八元数蕴藏着整个宇宙的秘密——我们可以从中推导出构成现实世界的整套相互作用和粒子。这篇文章，就将带我们走进这类奇异而复杂的数字。

2014 年，加拿大滑铁卢大学的研究生 Cohl Furey 驾车 6 小时来到了宾夕法尼亚州立大学，希望能和物理学教授 Murat Günaydin 讨论一个问题。Furey 弄明白了如何在 Günaydin 40 年前研究的基础上建立新理论。这是一项已经被多数人遗忘的研究，它支持一个有关基础物理与纯数学之间联系的猜想。而现在，Furey 将它重新带回人们的视线中。

这个猜想虽然存在于很多物理学家和数学家心中，但是很少有人做这一领域的研究。它认为，构成了现实世界的整套相互作用和粒子，都可以从一种名为八元数的八维数字中推出来。

Günaydin 现在是宾夕法尼亚州立大学教授，在 1973 年他还是耶鲁大学的研究生的时候，他和他的导师 Feza Gürsey 发现了八元数和强相互作用之间的令人吃惊的联系。强相互作用是将原子核中的夸克结合在一起的力量。其他研究者最初对这一发现很感兴趣，但兴趣并没有持续多久。那时所有人都在为粒子物理中的标准模型而困扰，它能够通过方程描述已知的基本粒子和它们之间的强、弱和电磁相互作用（引力之外的所有基本作用力）。但是大家没有去寻找标准模型问题的数学解释，更多的物理学家将希望寄托在高能粒子对撞机等实验上，希望会找到预料之外的粒子，从而能够超越标准模型，更深层次地理解现实。他们 " 想象下一次进展会自动出现，而不是通过更深入地思考我们已知的信息而获得。" 加拿大圆周理论物理研究所的 Latham Boyle 说。

几十年过去了，物理学家还没有找到超出标准模型的粒子。与此同时，八元数的奇异之美也一直吸引着少数几个有独立想法的研究者，其中就包括 Furey，这个在 4 年前拜访过 Günaydin 的加拿大研究生。那时 Furey 在黑板上潦草地写下一串奇异的符号，试图向 Günaydin 解释她将他的工作从强相互作用拓展到了电磁相互作用。

现如今 Furey 已经 39 岁了，她还没能将标准模型中的粒子和相互作用都用八元数来表达出来，也还没能触及到引力这个话题。她强调数学上的可能有很多种，很多专家都认为，找到能成功合并八元数和其他可除代数的方法还太早。

最复杂的数

要说明什么是八元数，要从我们熟悉的实数开始——就是那些可以在数轴上找到的数，例如 1、π、-83.777。实数可以通过特定的方式凑成一对，组成复数。关于复数的研究开始于 16 世纪的意大利，复数和二维坐标平面类似，加法、减法、乘法和除法就像是位置在平面上平移和旋转。将复数以一定的方式配对，可以形成四维的四元数，它是在 1843 年由爱尔兰数学家哈密顿发现的。哈密顿的律师朋友 John Graves 随之证明了成对组合的四元数也组成八元数：这种数可以定义八维抽象空间的坐标。

证明了八元数的 John Graves

之后就不可能构建更复杂的数了。1898 年完成的证明说明，实数、复数、四元数和八元数是仅有的几种可被加减乘除的数字形式。这些 " 可除代数 " 中的前三个是 20 世纪物理学的数学基础，实数一直都存在于经典物理中，复数提供了量子物理的数学基础，四元数则是爱因斯坦狭义相对论的基础。这样的联系让很多研究人员去思考如何理解最后一个可除代数。八元数中可能蕴含着宇宙的秘密吗？

当你从实数到复数，再到四元数、八元数把维度逐步翻倍时，Furey 解释道，" 每一次翻倍，你都会失去一些性质。" 比如，实数可以从小到大排列，" 而复数分布的平面上，根本没有这样的概念。" 接着，四元数没有交换律；对于四元数来说，a × b 不等于 b × a。这其实也很常见，因为将更高维度的数相乘会包含旋转，当你在高于两维的空间交换旋转的次序时，你最终得到的位置是不同的。到了八元数，结合律也将失效，也就是说（a × b） × c 不等于 a × （b × c）。" 数学家们不喜欢不满足结合律的东西，" 加利福尼亚大学河滨分校的八元数专家 John Baez 说，" 因为我们很容易想象不满足交换律的情形，比如先穿袜子再穿鞋和先穿鞋再穿袜子，但是我们很难想象不满足结合律的情形。" 比如，除了先穿袜子之后穿鞋，你还可以先将你的袜子放进你的鞋中，再同时穿上袜子和鞋，技术上说，这两种不同的穿法可以让得到相同的结果：穿着袜子和鞋。" 括号是一种人为引入的东西。"

八元数不满足结合律的性质阻碍了很多物理学家在这方面的努力，但是 Baez 解释说，八元数奇怪的数学性质同时也是最吸引他们的地方。自然用它的四种力操纵着几十种粒子和反粒子，它本身也很奇怪。标准模型是 " 奇怪且独特的 "，他说。