1．轨迹方程

【知识点的认识】

1．曲线的方程和方程的曲线

在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．

2．求曲线方程的一般步骤（直接法）

（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；

（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；

（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化简：化方程f（x，y）=0为最简形式；

（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点

【常用解法】

（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．

（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．

（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0=f（x，y），y0=g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）=0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．

（4）待定系数法

（5）参数法

（6）交轨法．