一、经典的霍尔效应（Hall effect）

霍尔电阻来源于洛伦兹力和电场力的平衡，使用Drude model以及Ohm定律

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可得霍尔电导率（tensor）以及电阻率（tensor）

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二、（整数）量子霍尔效应

弱磁场的情况下，非对角的霍尔电导和磁场强度满足经典的线性关系，强磁场作用下出现了很多量子化的平台

量子化的起源-朗道能级

这里使用Landau gauge，Hamiltonian可转化为谐振子模型从而求解其能级

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波函数代入current operator

此时若在y方向加个电场 ε，破坏其对称性

得到的current依然是不变的（shift Gaussian wave packet center）。对电流积分可得量子化的霍尔电导率，其中n对应了朗道能级的占据数目

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Laughlin’s gauge argument

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将IQHE解释为quantum pump，增加一个量子磁通的test flux的就对应着Gaussian wave packet移动一个单位。

Landauer's approach （Edge modes）

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Drift velocity 直接由化学电势差决定

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拓扑的引入 （Kubo Formula，Chern number or TKNN number，Berry curvature...）

Kubo Formula 是通过linear response得到的电导率

上式红色部分是纯虚数，Berry curvature是纯实数

所以第n个band的霍尔电导率是

上式括号里面的积分是一个整数，即Chern number （first Chern number）=TKNN number。证明略。。。

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