看来今晚

估计又要睡不着

今天超模君准备了几道有趣的物理题目，让各位模友烧一下脑？

问题一：

有一个半圆柱体横放在水平桌面上，截面的半径为 R 。我们在半圆柱体上放一块木板，试图让它在半圆上保持平衡。假如这块木板非常薄，那么这块木板很容易放稳，即使有些小动静，木板也会自动恢复平衡。但考虑另外一个极端，假如这是一块非常厚非常厚的木板（甚至是大楼一般的形状），它显然不能稳放在这个半圆上。

那么，这中间一定会有一个临界点。

这个临界点在哪里？换句话说，这个半圆上最多能放稳一块多厚的木板？

把半圆的半径记作 R ，把木板的厚度记作 t 。如果把木板平放在半圆上，其重心的高度就是 R + t/2 。假如这块木板倾斜了一个微小的角度 θ ，那么图中 M’T 的长度等于弧 MT 的长度，即2πR·(θ/2π) = R·θ 。

此时，木板的重心 G’ 的高度变为了 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ。为了让木板保持平衡，不会自动往下滑，我们需要让新的重心高度大于原来的重心高度，即 (t/2)cosθ + (R·θ)sinθ + R·cosθ > R + t/2。解出不等式，再令 θ→0 ，即可得到 t < 2R。

也就是说，一旦木板的厚度超过半圆的直径，木板就无法放稳了。

问题二：

假如你面向东边，站在冰面上，鞋底与冰面完全没有摩擦。你能否做出一系列动作，使得自己最后能面向西边站立？

可以。

只需要重复“伸臂－挥臂－屈臂”的动作，你的身体便会向反方向转动一点。

期待实验党，不过你得先找个冰面。

问题三：

投一枚硬币，如果是正面，我就去打球，如果是反面，我就去打游戏，如果立起来，我就去学习。不知道大家第一次看到这个笑话时，有没有想过，如果一枚硬币真的有 1/3 的概率正面朝上，有 1/3 的概率反面朝上，有 1/3 的概率立起来，那么这个硬币的半径与厚度满足什么样的关系？

这枚硬币必须满足，把它立起来后，即使倾斜 30 度仍然不倒。这样，硬币直立的“势力范围”才会达到 120 度。

因此，硬币的直径应该是厚度的 √3 倍。

问题四：

考虑某颗星球，它由某种密度均匀的物质组成，其质量为 M ，体积为 V 。如果这颗星球是一个球体，那么它的半径 R = ((3V) / (4π))1/3，星球表面上的重力加速度则为 g = GM / R2 = GM((4π) / (3V))2/3，其中 G 是万有引力常数。

考虑这颗星球所有可能的形状，怎样的形状才会让星球表面的某一点重力加速度达到最大？最大值是多少？

下图就是让表面某处的重力加速度达到最大的星球形状。这个图形是一个稍微有些变形的球体，整个图形是一个以 z 方向为轴的旋转体，顶端的 m 点即是重力加速度最大的点，它的重力加速度为 g = (4/5)(15/4)1/3π2/3M / V2/3，只比球形星体的重力加速度大 2.6% 。这是又一个经典的例子——圆形似乎并不是那么完美。

这个问题的解法非常漂亮。

首先，假设我们想要让星体表面上的某个点 m 的重力加速度最大，并且所受重力方向在 z 轴上，那么这个星体必然是沿 z 轴方向对称的。否则，取出不对称的一层，把多的部分填进少的部分让它变成一个完全对称的圆盘，这将会让 m 点在竖直方向上的受力变大。不断这样做直到这个图形沿 z 轴完全对称，显然就得到了一个更优的形状。

接下来的步骤就真的神了。

现在，在星体上取一个非常细的圆环，假设它的质量是 dM 。那么，这个圆环所贡献的重力加速度大小就是 G·dM·cosθ /r2 。如果把这个圆环从星体中挖掉，放到其它的位置上，那么新的圆环将会有新的 r 值和 θ 值。当整个形状达到最优时，这个形状将位于“极值点”的位置，也就是说它的“微分”为 0 ，任何微小的变动都不会改变 m 的加速度。

这就意味着， cosθ / r2 是一个常数。这个条件就确定出整个星体的形状。

问题五：

上楼时，人克服重力做功，需要耗费很多能量。但是，在平地上行走时，人并没有做功。那么，为什么我们走路时还要耗费能量呢？

1999 年 3 月的 Scientific American 上说到，其实在步行时，我们也是要克服重力做功的。这是因为，在步行的过程中，人的重心会一上一下地摆动。当两腿一前一后着地时，人的重心偏低；而单腿着地迈步时，人的重心会升高大约 3cm 。

我们走路的能量主要就消耗在了这里。

当然，事实上，即使人不走路，光是原地站着，也是要耗费能量的（大约为 80W ）。假设人的步行速度是 v ，那么步行所用的能量可以用公式 P = 80W + K·v 大致算出，其中 K·v 就是步行过程中耗费的能量，系数 K 大约为 160N 。

教中学物理最怕聪明孩子，一些古怪的问题常常会让老师也支支吾吾答不上来。

走路不做功，为什么还要耗费能量？电流从电厂来又回到电厂去，为什么我们还要支付电费？把装满水的水杯不盖纸片直接倒过来，为什么大气压没有把水支撑起来？拳头打在墙上后将会受到墙给拳头的反作用力，但若拳头挥空了，这个力的反作用力是什么？

这些，你都打算怎么解释？

不知道聪明的你今晚还能不能睡着？