对于永磁同步电机的控制而言,我们经常要用到坐标变换,碰到各种电感——相电感、线电感、直轴电感、交轴电感、相间互感等等,尤其是电感和坐标变换结合后,导致很多童鞋迷惑不清。今天,我们就试图理一下其中的关系。
先从电感说开,1824年,奥斯特发现了电流的效应——在通电导体的周围小磁针会发生偏转,即电能生磁。若干年后,法拉第和亨利发现了电磁的另外一个方面:磁也能生电。他们注意到移动的磁场能能在导体中感应出电流,这就是所谓的电磁感应,其数学表达式如下:
其中 表示感应电压, 表示磁通的变化率,单位是 。
在法拉第发表电磁感应的论文后不久,楞次发现了决定感应电流方向的规律,就是我们高中学到的楞次定律:感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。简单来说就是:来拒去留。
所以完整的法拉第定律应为:
对永磁同步电机想了解更多,可以参照文章:
J Pan:如何快速理解永磁同步电机? 一、什么是自感和互感
安培定律告诉我们,磁场产生的根本原因是电流——既可以是导体中的电流,也可以是永磁体中的环形电流。也就是说,我们现在有一个线圈,给它通电之后,就会产生磁场,如下图所示:
Source:Wikipedia
那问题就来了,线圈本身就处于自身产生的磁场中,是不是也就意味着线圈中也会产生磁通(磁链)?——答案是显而易见的,但如何来描述呢?
磁通这个量对于我们来说不直观,也不好测量,既然磁通是由电流产生的那我们是不是可以借助电流来表示呢?——媒介就是电感(inductance)!所以电感的定义就是:
单位是Henry(亨利),一位美国物理学家,他其实和法拉第几乎同时独立的发现了电磁感应现象,只不过呢,法拉第更早的发表了成果,就赢得了冠名权。
我们通常说的电感,严格来说应该叫自感(self inductance),即线圈自己对自己产生磁通的能力。
既然有自感,就会有互感(mutual inductance),即两个线圈之间互相产生磁通的能力。
电感为什么重要?——因为它表征了在某个特定的结构中电流产生磁场的能力,而电流是我们非常熟悉的量,如果电感确定了,我们就能很容易去研究磁场的性质,在电机中尤其如此。
由于电机是比较复杂的电磁产品,里面电感构型比较复杂,既有自感又有互感,电感之间既有并联,也有串联,所以我们有必要先研究一下电感串联和并联有什么特性。
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同向串联电感
Source: SPEEDs Electrical Machines
上图描述了两个绕向相同的电感串联时的模型,其中用黑点表示绕组电流流入方向,电流和磁链方向如图所示。
第一个电感产生的总磁链为:
第二个电感中产生的总磁链为:
两个电感中的电流方向相同:
两个电感等效成一个电感时,总的磁链为:
则等效电感为:
反向串联电感
Source: SPEEDs Electrical Machines
注意,此时两绕组绕向相反,由于定义的电流正方向为绕组的流入方向,在此规定下,两绕组的电流数值关系是:
所以总的等效磁链为:
则等效电感为:
同向并联电感
Source: SPEEDs Electrical Machines
注意,两个电感并联时是比较反直觉的,下面我们就来仔细分析一下。上图是绕向相同的两个电感并联时情况,此时,由基尔霍夫电压定律每个电感两端的电压应该是一致的。即:
对于第一个电感:
对于第二个电感:
由基尔霍夫电流定律:
整理可得:
所以等效电感为:
反向并联电感
Source: SPEEDs Electrical Machines
两电感方向绕向相反,则根据基尔霍夫电压定律:
由基尔霍夫电流定律:
可计算的等效电感为:
简单来说:
当两电感串联时:
,绕向相同时M为正,绕向相反时M为负;
当两电感并联时:
,绕向相同时M为正,绕向相反时M为负;
做个测试,当三相电机绕组Y型连接时,其线电感是多少呢?
其线电感为: ,其中 为相间互感,带符号的。
二、什么是磁动势
我们知道,电感的定义是由磁通(多匝为磁链)来定义的,要计算线圈电感,要首先计算线圈通电后产生的磁场,并由此计算磁链。我们假设有以下“理想电机”:
电机内磁路为线性,铁芯中的磁滞和涡流损耗可以忽略; 气隙磁场的高次谐波可以忽略; 定、转子表面光滑,齿、槽影响可以用卡式系数修正; 直轴和交轴气隙可以不等,但是气隙的比磁导可以用平均值加二次谐波来表示;
注意最后一条假设非常重要,后面我们会说。
上图表示一个定子槽内有两极整距线圈的情况,其中 为流出, 为流入。由安培环路定理,我们知道其磁动势分布为:
磁动势的幅值为:
对方波进行傅里叶级数分析,可知其可由1、3、5,...等奇次谐波组成,其中1次谐波也称之为基波,其幅值为:
上面分析的是一对极情况,现在假设是 对极,每相绕组总匝数为 ,则A相基波幅值为:
上面分析时绕组都认为是整距,且每极每相只有一个槽,实际电机很少这种情况,大多每极下面是多槽的,而且还是短距:
我们一般用一个绕组因数 来对基波磁动势进行修正,其幅值为:
三、如何计算永磁同步电机的相电感及互感
前面我们计算了基波磁动势的幅值,则其沿定子分布为:
有了磁势,如果我们也能知道磁导(磁阻的倒数),那就能计算气隙磁密了。对于表贴式永磁同步电机(SPM)而言,气隙基本不变,因此磁导和转子的位置没什么关系;但是对于内嵌式永磁同步电机(IPM)而言,气隙沿转子圆周方向一直变换(变化周期是极对数的两倍),因此磁导还和转子位置相关。
Source: SPEEDs Electrical Machines
由于dq轴是定义在转子上的,因此我们可以通过d轴与A相绕组的夹角 来表示转子所在的位置。
如何计算相电感
由于前面理想电机假设,气隙比磁导(单位面积气隙磁导)为:
注意上式中因为气隙长度变换周期是极对数的2倍,因此有个2次分量,而且当电机类型为内嵌式(IPM)时, 为负值,即d轴时磁阻最大,磁导最小。
气隙磁动势和比磁导的相位关系为:
则气隙磁密为磁动势乘以比磁导:
展开成谐波叠加的形式:
所以基波气隙磁密为:
则A相绕组对应的磁链为:
其中 为A相漏感, 为极距, 叠片长度,上式整理可得:
进一步整理可得:
所以A相自感为:
即:
看着比较复杂,我们换一种表达方式:
令:
则:
可见,A相绕组的自感不是一个固定值,而是随转子的变换而变化。同理可得其他两相自感为:
如何计算相间互感
由于B相绕组与A相绕组空间相差120°,其与自感方式基本相同,只需将积分区间由 修改为 ,即可以计算A相绕组电流产生的磁场在B相绕组中感应出的磁链,具体为:
其中 为互漏感,可以获得A、B相互感为:
其中:
同理可获得其他两相的互感为:
一个典型的电机的自感和互感如下图所示:
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四、如何计算dq轴电感
一般的永磁同步电机都会用dq轴电感表示,很多童鞋就迷惑了:dq轴电感怎么计算或测量?和相电感及互感有什么关系?dq电感和坐标变换有关系没?下面我们就逐一解答一下。
如何确定坐标转换矩阵
文章一开始我们就说了,算电感是为了算磁链,进而去计算磁场的某型性质,现在我们通过艰苦的努力,终于把三相绕组的自感和互感计算出来了。
那磁链就可以计算了:
我们本来以为算完相电感就万事大吉了呢!——很遗憾,这只是开始,还远不是结束,因为这个电感矩阵太复杂了!不信你请看:
而且这个电感矩阵还随之转子的变化而变化着,这就麻烦了!怎么办呢?记得我们刚上大学的时候,有两门课是必修的基础课,一个是微积分,另外一个是线性代数,在线性代数里面我们学到了一个概念——矩阵对角化,啥意思呢,简单来说就是找到一个相似矩阵,这个相似矩阵呢形式比较简单,只有对角线上有数,而且这个相似矩阵能表征原矩阵的关键特征。矩阵对角化本质就是寻找矩阵空间的正交基以及在“基”上的投影系数。那电感矩阵是不是可以进行对角化呢?
我们按照矩阵对角化的步骤,先令:
这个表达式展开比较复杂,我们就不细写了,有兴趣的童鞋可以自己推到一下,下面只说结论:我们可以得到三个特征值,分别是:
其中特征值 对应的特征向量是:
特征值 对应的特征向量是:
特征值 对应的特征向量是:
则3个特征向量可以组成如下特征矩阵:
细心的童鞋可能已经发现了某些端倪——这个特征矩阵就是克拉克变换和帕克变换的乘积!
该特征矩阵的逆矩阵为:
则电感矩阵的特征值可以用特征矩阵及其逆矩阵来计算,即
好了,变魔术的时候来了,我们要给这几个特征值换名字了:我们一般称 为 ; 为 , 为 ,即:
即:
什么?——原来dq轴的电感就是三相绕组电感矩阵的特征值!这么做有什么好处呢?大家仔细观察一下就可以发现,dq电感是一个常量了, 等变化因子消失了,也就是说通过对角化(坐标变换),原先较为复杂的电感矩阵对角化和常数化了,是定子的磁链方程解耦了!同时我们还可以得出如下结论:dq轴电感与变换矩阵无关,是电感矩阵的固有属性。
什么是恒功率变换
在学习坐标变换的时候很多童鞋就有疑惑,有的变换矩阵前面有个系数 ,有的是 ,有的又没有,这到底有什么关系呢?
我们知道电压矢量、电流矢量以及磁链矢量的关系为:
前面在电感对角画的时候我们求取了变换矩阵 ,现在我们需要把电压矢量、电流矢量以及磁链矢量也进行坐标变换:
则变换后的功率为:
我们把 和 代入上式,就可以得到:
我们不考虑零轴分量,发现变换后的功率是变换前的3/2倍!也就是说,变换前后功率不守恒了,那我们通过功率计算的转矩就会不准确了,需要进行修正!
那怎样才能做到功率守恒呢?——也很简单,把特征矩阵变为下面这个就可以了。
这个矩阵的你矩阵和转置矩阵一样:
这个矩阵也是我们最常用的变换矩阵。
五、如何测量dq轴电感
我们要建立永磁同步电机的模型,就要知道dq轴电感,那怎么得到呢?两种方式,一种是计算,一种是测量。计算比较容易,建立电机的有限元模型,现在的电磁计算软件都有电感矩阵计算功能,计算出来求特征值就行了,有的软件都能直接给出dq轴的电感。
下面我们着重说一下如何测量dq轴电感,这也是大家最迷惑的地方之一。
一般来说有2种方式来测电感,一种是通过三相绕组,一种是通过两相绕组。
用三相测dq轴电感
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将B、C两相绕组并联在一起,形成一个新的端点,用LCR表或其他装置测量该端点和A相绕组端点之间的电感。
此时因为:
B相绕组和C相绕组并联,具有相同的磁链,因此只计算B相绕组的磁链:
则总的磁链为:
则等效电感为:
当 时:
当 时:
可见,当我们在转子合适的位置测电感时,可以分别获得d轴电感和q轴电感。但是这种方法有一个难点就是如何知道转子此时的位置,一个近似的测法是旋转转子,记下电感的最大值和最小值,此时:
用两相测dq轴电感
用两相绕组也可以直接测量,比如直接测量B、C两相端部之间的电感。
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此时,B相绕组的磁链为:
B相绕组的磁链为:
总的磁链为:
等效电感为:
同样,不停的旋转转子,记下电感的最大值和最小值,此时:
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