对于永磁同步电机的控制而言，我们经常要用到坐标变换，碰到各种电感——相电感、线电感、直轴电感、交轴电感、相间互感等等，尤其是电感和坐标变换结合后，导致很多童鞋迷惑不清。今天，我们就试图理一下其中的关系。

先从电感说开，1824年，奥斯特发现了电流的效应——在通电导体的周围小磁针会发生偏转，即电能生磁。若干年后，法拉第和亨利发现了电磁的另外一个方面：磁也能生电。他们注意到移动的磁场能能在导体中感应出电流，这就是所谓的电磁感应，其数学表达式如下：

其中 表示感应电压， 表示磁通的变化率，单位是 。

在法拉第发表电磁感应的论文后不久，楞次发现了决定感应电流方向的规律，就是我们高中学到的楞次定律：感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化。简单来说就是：来拒去留。

所以完整的法拉第定律应为：

对永磁同步电机想了解更多，可以参照文章：

J Pan：如何快速理解永磁同步电机？ 一、什么是自感和互感

安培定律告诉我们，磁场产生的根本原因是电流——既可以是导体中的电流，也可以是永磁体中的环形电流。也就是说，我们现在有一个线圈，给它通电之后，就会产生磁场，如下图所示：

Source：Wikipedia

那问题就来了，线圈本身就处于自身产生的磁场中，是不是也就意味着线圈中也会产生磁通（磁链）？——答案是显而易见的，但如何来描述呢？

磁通这个量对于我们来说不直观，也不好测量，既然磁通是由电流产生的那我们是不是可以借助电流来表示呢？——媒介就是电感（inductance）！所以电感的定义就是：

单位是Henry（亨利），一位美国物理学家，他其实和法拉第几乎同时独立的发现了电磁感应现象，只不过呢，法拉第更早的发表了成果，就赢得了冠名权。

我们通常说的电感，严格来说应该叫自感（self inductance），即线圈自己对自己产生磁通的能力。

既然有自感，就会有互感（mutual inductance），即两个线圈之间互相产生磁通的能力。

电感为什么重要？——因为它表征了在某个特定的结构中电流产生磁场的能力，而电流是我们非常熟悉的量，如果电感确定了，我们就能很容易去研究磁场的性质，在电机中尤其如此。

由于电机是比较复杂的电磁产品，里面电感构型比较复杂，既有自感又有互感，电感之间既有并联，也有串联，所以我们有必要先研究一下电感串联和并联有什么特性。

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同向串联电感

Source: SPEEDs Electrical Machines

上图描述了两个绕向相同的电感串联时的模型，其中用黑点表示绕组电流流入方向，电流和磁链方向如图所示。

第一个电感产生的总磁链为：

第二个电感中产生的总磁链为：

两个电感中的电流方向相同：

两个电感等效成一个电感时，总的磁链为：

则等效电感为：

反向串联电感

Source: SPEEDs Electrical Machines

注意，此时两绕组绕向相反，由于定义的电流正方向为绕组的流入方向，在此规定下，两绕组的电流数值关系是：

所以总的等效磁链为：

则等效电感为：

同向并联电感

Source: SPEEDs Electrical Machines

注意，两个电感并联时是比较反直觉的，下面我们就来仔细分析一下。上图是绕向相同的两个电感并联时情况，此时，由基尔霍夫电压定律每个电感两端的电压应该是一致的。即：

对于第一个电感：

对于第二个电感：

由基尔霍夫电流定律：

整理可得：

所以等效电感为：

反向并联电感

Source: SPEEDs Electrical Machines

两电感方向绕向相反，则根据基尔霍夫电压定律：

由基尔霍夫电流定律：

可计算的等效电感为：

简单来说：

当两电感串联时：

，绕向相同时M为正，绕向相反时M为负；

当两电感并联时：

，绕向相同时M为正，绕向相反时M为负；

做个测试，当三相电机绕组Y型连接时，其线电感是多少呢？

其线电感为： ，其中 为相间互感，带符号的。

二、什么是磁动势

我们知道，电感的定义是由磁通（多匝为磁链）来定义的，要计算线圈电感，要首先计算线圈通电后产生的磁场，并由此计算磁链。我们假设有以下“理想电机”：

电机内磁路为线性，铁芯中的磁滞和涡流损耗可以忽略； 气隙磁场的高次谐波可以忽略； 定、转子表面光滑，齿、槽影响可以用卡式系数修正； 直轴和交轴气隙可以不等，但是气隙的比磁导可以用平均值加二次谐波来表示；

注意最后一条假设非常重要，后面我们会说。

上图表示一个定子槽内有两极整距线圈的情况，其中 为流出， 为流入。由安培环路定理，我们知道其磁动势分布为：

磁动势的幅值为：

对方波进行傅里叶级数分析，可知其可由1、3、5，...等奇次谐波组成，其中1次谐波也称之为基波，其幅值为：

上面分析的是一对极情况，现在假设是 对极，每相绕组总匝数为 ，则A相基波幅值为：

上面分析时绕组都认为是整距，且每极每相只有一个槽，实际电机很少这种情况，大多每极下面是多槽的，而且还是短距：

我们一般用一个绕组因数 来对基波磁动势进行修正，其幅值为：

三、如何计算永磁同步电机的相电感及互感

前面我们计算了基波磁动势的幅值，则其沿定子分布为：

有了磁势，如果我们也能知道磁导（磁阻的倒数），那就能计算气隙磁密了。对于表贴式永磁同步电机（SPM）而言，气隙基本不变，因此磁导和转子的位置没什么关系；但是对于内嵌式永磁同步电机（IPM）而言，气隙沿转子圆周方向一直变换（变化周期是极对数的两倍），因此磁导还和转子位置相关。

Source: SPEEDs Electrical Machines

由于dq轴是定义在转子上的，因此我们可以通过d轴与A相绕组的夹角 来表示转子所在的位置。

如何计算相电感

由于前面理想电机假设，气隙比磁导（单位面积气隙磁导）为：

注意上式中因为气隙长度变换周期是极对数的2倍，因此有个2次分量，而且当电机类型为内嵌式（IPM）时， 为负值，即d轴时磁阻最大，磁导最小。

气隙磁动势和比磁导的相位关系为：

则气隙磁密为磁动势乘以比磁导：

展开成谐波叠加的形式：

所以基波气隙磁密为：

则A相绕组对应的磁链为：

其中 为A相漏感， 为极距， 叠片长度，上式整理可得：

进一步整理可得：

所以A相自感为：

即：

看着比较复杂，我们换一种表达方式：

令：

则：

可见，A相绕组的自感不是一个固定值，而是随转子的变换而变化。同理可得其他两相自感为：

如何计算相间互感

由于B相绕组与A相绕组空间相差120°，其与自感方式基本相同，只需将积分区间由 修改为 ，即可以计算A相绕组电流产生的磁场在B相绕组中感应出的磁链，具体为：

其中 为互漏感，可以获得A、B相互感为：

其中：

同理可获得其他两相的互感为：

一个典型的电机的自感和互感如下图所示：

Source: SPEEDs Electrical Machines

四、如何计算dq轴电感

一般的永磁同步电机都会用dq轴电感表示，很多童鞋就迷惑了：dq轴电感怎么计算或测量？和相电感及互感有什么关系？dq电感和坐标变换有关系没？下面我们就逐一解答一下。

如何确定坐标转换矩阵

文章一开始我们就说了，算电感是为了算磁链，进而去计算磁场的某型性质，现在我们通过艰苦的努力，终于把三相绕组的自感和互感计算出来了。

那磁链就可以计算了：

我们本来以为算完相电感就万事大吉了呢！——很遗憾，这只是开始，还远不是结束，因为这个电感矩阵太复杂了！不信你请看：

而且这个电感矩阵还随之转子的变化而变化着，这就麻烦了！怎么办呢？记得我们刚上大学的时候，有两门课是必修的基础课，一个是微积分，另外一个是线性代数，在线性代数里面我们学到了一个概念——矩阵对角化，啥意思呢，简单来说就是找到一个相似矩阵，这个相似矩阵呢形式比较简单，只有对角线上有数，而且这个相似矩阵能表征原矩阵的关键特征。矩阵对角化本质就是寻找矩阵空间的正交基以及在“基”上的投影系数。那电感矩阵是不是可以进行对角化呢？

我们按照矩阵对角化的步骤，先令：

这个表达式展开比较复杂，我们就不细写了，有兴趣的童鞋可以自己推到一下，下面只说结论：我们可以得到三个特征值，分别是：

其中特征值 对应的特征向量是：

特征值 对应的特征向量是：

特征值 对应的特征向量是：

则3个特征向量可以组成如下特征矩阵：

细心的童鞋可能已经发现了某些端倪——这个特征矩阵就是克拉克变换和帕克变换的乘积！

该特征矩阵的逆矩阵为：

则电感矩阵的特征值可以用特征矩阵及其逆矩阵来计算，即

好了，变魔术的时候来了，我们要给这几个特征值换名字了：我们一般称 为 ; 为 , 为 ，即：

即：

什么？——原来dq轴的电感就是三相绕组电感矩阵的特征值！这么做有什么好处呢？大家仔细观察一下就可以发现，dq电感是一个常量了， 等变化因子消失了，也就是说通过对角化（坐标变换），原先较为复杂的电感矩阵对角化和常数化了，是定子的磁链方程解耦了！同时我们还可以得出如下结论：dq轴电感与变换矩阵无关，是电感矩阵的固有属性。

什么是恒功率变换

在学习坐标变换的时候很多童鞋就有疑惑，有的变换矩阵前面有个系数 ，有的是 ，有的又没有，这到底有什么关系呢？

我们知道电压矢量、电流矢量以及磁链矢量的关系为：

前面在电感对角画的时候我们求取了变换矩阵 ，现在我们需要把电压矢量、电流矢量以及磁链矢量也进行坐标变换：

则变换后的功率为：

我们把 和 代入上式，就可以得到：

我们不考虑零轴分量，发现变换后的功率是变换前的3/2倍！也就是说，变换前后功率不守恒了，那我们通过功率计算的转矩就会不准确了，需要进行修正！

那怎样才能做到功率守恒呢？——也很简单，把特征矩阵变为下面这个就可以了。

这个矩阵的你矩阵和转置矩阵一样：

这个矩阵也是我们最常用的变换矩阵。

五、如何测量dq轴电感

我们要建立永磁同步电机的模型，就要知道dq轴电感，那怎么得到呢？两种方式，一种是计算，一种是测量。计算比较容易，建立电机的有限元模型，现在的电磁计算软件都有电感矩阵计算功能，计算出来求特征值就行了，有的软件都能直接给出dq轴的电感。

下面我们着重说一下如何测量dq轴电感，这也是大家最迷惑的地方之一。

一般来说有2种方式来测电感，一种是通过三相绕组，一种是通过两相绕组。

用三相测dq轴电感

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将B、C两相绕组并联在一起，形成一个新的端点，用LCR表或其他装置测量该端点和A相绕组端点之间的电感。

此时因为：

B相绕组和C相绕组并联，具有相同的磁链，因此只计算B相绕组的磁链：

则总的磁链为：

则等效电感为：

当 时：

当 时：

可见，当我们在转子合适的位置测电感时，可以分别获得d轴电感和q轴电感。但是这种方法有一个难点就是如何知道转子此时的位置，一个近似的测法是旋转转子，记下电感的最大值和最小值，此时：

用两相测dq轴电感

用两相绕组也可以直接测量，比如直接测量B、C两相端部之间的电感。

Source: SPEEDs Electrical Machines

此时，B相绕组的磁链为：

B相绕组的磁链为：

总的磁链为：

等效电感为：

同样，不停的旋转转子，记下电感的最大值和最小值，此时：

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