想要从幂律型的数据中获得尽可能多的信息是十分具有挑战性的。近日发表于 Nature Reviews Physics 的一篇文章指出在研究幂律分布时，涌现的标度不变性（scale invariance）所带来的误区和一些重要机会。
研究领域：幂律，标度不变性，重整化群，涌现
文章题目：Power laws in physics
文章链接：https://www.nature.com/articles/s42254-022-00491-x
幂律出现在许多知识领域中——从语言学的词汇使用，到经济学的收入分配。有大量文献在发现和计算自然中的幂律现象。新发表的有趣的结果可能会涉及到跨越十到二十年的数据 [1]：我们需要好的工具来表明幂律是真实且准确的。简而言之，幂律拟合容易，但测量和解释好很难[2]。那么，研究幂律——基于涌现标度不变性这一统计物理学的关注对象——有什么特殊挑战？存在什么样的机会能够让我们从数据中提取更多的科学知识？
许多系统在变大时，会展现出分形结构和具有标度不变性的涨落，这些描述系统行为的规则在越来越大的系统中也是相同的。连续相变（例如铁磁体中的居里点）、无序系统的动力学行为（例如脱钉相变（depinning transitions）、裂纹噪声（crackling noise）、雪崩）、混沌边缘、地震、充分发展的湍流，以及股票市场的行为，都表现出涌现标度不变性的明显迹象，所有系统在各种行为的观测中都显示出幂律特征。
在许多这样的系统中，重整化群（renormalization group, RG）[3] 可以有说服力地解释系统中出现的幂律。重整化群通过系统粗粒化，然后缩放（重整）参数以及观测值，以达到一个不动点。
在一些系统中（例如湍流、地震）这是一个共识。在另外一些系统中（例如玻璃[4]，随机矩阵理论[5]）存在普适的临界指数和普适的缩放函数，但还没有重整化群的解释。重整化群预测了和各种变量相关的幂律分布，这些幂律分布在理论和实验普遍共享，同样在（同一个“普适性类”下的）截然不同的实验系统之间共享。如果Z依赖于X，那么 Z~Xβ 通常是非平凡的，可能是超越的，普适的临界指数 β。
重整化群还预测了涉及两个以上参数或可观测值的普适缩放函数。如果Z依赖于X和Y，那么
α也是一个普适数，Z是一个普适函数。由于这些强大的普适缩放函数，实验人员和模拟人员在测量这些幂律时面临的挑战和最有成效的机会，几乎总是会涉及幂律的修正和修改。
我们从有限尺寸缩放（finite-size scaling）开始，描述系统在一个尺寸为 L 的立方体盒子中（或在一个尺寸为 L 的晶粒中）的行为。假设我们的系统显示了跨度很大的雪崩，尺度大小为S。则雪崩运动的尺寸在 S 和 S+dS 之间的比例为：
其中 df 为雪崩的分形维数，因此横跨系统的雪崩具有典型的尺寸 S~Ldf。
比盒子大的雪崩自然会被强烈抑制！所以当辐射角超过1时，A迅速减小。相反，如果A在其辐射角趋于零时趋于一个正的常数，那么足够小的雪崩将具有预测的普适的幂律体积分数 S1-τ。但是，在一个A会变化的区域测量雪崩的实验或者模拟中，我们常会发现一个相当好——但不正确的——幂律拟合（见图1a）。
更好的做法是改变系统的大小（或者是晶粒大小），然后做一个尺度坍缩（scaling collapse）
来找到一个A：画出
和
的关系，变化
以及 df 直到全部的曲线重合
（见图1b）。
图1：随机场 Ising 模型的标度律和雪崩（a）雪崩概率分布；（b）同样数据的尺度坍缩，以及对标度函数 A 的拟合
当行为达到系统的大小时，有限尺寸缩放会产生重要的修正。但是对于小尺度来说，重要的修正是什么？或者对于一个远离临界点的系统？有两种类型的次级修正（Subdominant correction），即缩放的奇异修正（singular correction）和缩放的解析修正（analytic correction）。例如，液气临界点的自由能是这样的形式：
变量 u 是一个无关控制变量：在 t=0 时，u乘以0，也即当接近临界温度 Tc 和临界压力 Pc 时，它的重要性越来越小。函数
+...
和
是解析的幂级数，它们体现了温度和压力如何映射到 Ising 普适性类中的“自然”重整化群参数 t, h, u上。
通过对 u，T-Tc，P-Pc 做泰勒展开，可以得到 T-Tc 更高次幂的修正。特别的，无关变量 u 会产生比主导奇点小
倍的对缩放的奇异修正。
当我们有超过一个变量的缩放函数时，如方程3，尺度坍缩就不再有用。一个强大、令人满意、数值上方便的方法就是对数据 [6-8] 进行多参数拟合，不仅改变了参数如 β、δ、u、Tc、Pc、a、b、c 等，而且还改变缩放函数 F 的参数化函数形式。
拟合函数形式还有三个好处。首先，它们不仅提供了对普适临界指数的估计，而且还提供了普适缩放函数。其次，它们考虑到了对指数的统计误差和系统误差的估计（通常比直接幂律拟合要大得多）。最后，这些修正在临界点附近很小，对于描述周围相中的前期涨落越来越重要。确实，这里有人想要通过对 Ising 临界点使用解析和奇异修正，用相图描绘（具有挑战性的）液体特性。
仔细测量与微观相比大、与系统相比小的系统的中等尺寸特征，人们能够找到正确的幂律吗？如果缩放函数本身是奇异的——当辐射角趋于零时，它趋于零或者无穷大，那就不行。在我们对三维随机场 Ising 模型的研究中[9]，这几乎发生了（见图1）。
我们测量了雪崩的覆盖率，
，这里 r = (R-Rc) 是到临界紊乱
（critical disorder）的距离。我们发现了极好的尺度坍缩，但是 A 似乎随着 Sσr 趋于 0 而线性地趋于0（图1b）
—— 给出了一个有效幂律公式
（图1a）
，它与从尺度坍缩中提取的重整化群指数
不一致。最后，我们
（当时）使用了十亿位点模拟，发现 A 几乎消失了——它从很小的初值增加了10倍。
奇异缩放函数同样会在危险无关变量的例子中出现，如方程3中的u这样的量，它会在缩放（无关变量）中消失，但当它消失时，一个物理性质的缩放函数会发散。这发生在一些玻璃系统中，在长尺度情况下，冻结不再是通常粒子间的温度和耦合的竞争，而是随机无序和耦合之间的竞争。温度能够使其跳跃过障碍，允许系统弛豫（relax）。因为在玻璃化过程中，温度是无关变量，弛豫时间（及其缩放函数）随着系统通过相变冷却而发散。
对于普适的缩放函数，还有许多更吸引人的含义和用途，当然还有相关的警告：拟合幂律可能会让你误入歧途。许多系统表现出交叉（Crossover）的特征，即随着标度的增大，从一个幂律平稳过渡到另一个幂律——通常是在有限温度下观察到的量子临界点（quantum critical point），但同样能够在例如磁雪崩[10]、断裂（fracture）和脱钉相变[7]中发生。其它系统表现出更加复杂的缩放行为，因为它们的重整化群流本质上是非线性的[8]。这非常常见，例如，在相变临界点，所有的二维、四维系统都有对数、指数或必需的奇异点。
因此，关于相信幂律分布拟合的陷阱不应该被视为障碍，而是一个机会。通过使用普适的缩放函数从数据中提取尽可能多的信息，这极具挑战，但在智力以及科学上都是极富有成效的。
James Sethna | 作者
梁栋栋 | 译者
陈清华、梁金 | 审校
邓一雪 | 编辑
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