先一起做下面的实验，感受莫比乌斯环的神奇。

用笔从莫比乌斯环的任意一点开始画线。你会发现，笔不必跨过莫比乌斯环的边缘，笔迹就会布满整条纸环，不分正反面，且又回到了起点。这似乎没什么特别之处，但是，若将笔迹想象成我们走的路线呢？这意味着，我们将会在莫比乌斯环上无限循环地走下去。

之所以是这样，是因为莫比乌斯环实际上只有一个面，并且是不可定向的，如果沿着笔迹行走，当你返回到原始位置时，你实际上将成为自己的镜像。

当螃蟹在莫比乌斯环上行走并返回其原始位置时，它就是其自身的镜像。资料来源：Wikimedia Commons

与此同时，我们想象一下，如果将一个曲面上下延长，然后按照制作莫比乌斯环的方式，扭曲其一端再与底部相接，这样一来，一个没有内外之分的克莱因瓶就完成了。

图源: Fouriest Series on tumblr

在数学领域中，克莱因瓶是指一种无定向性的平面，在拓扑学中，克莱因瓶是一个不可定向的拓扑空间。在三维空间中，克莱因瓶的结构可表述为：一个瓶子底部有一个洞，延长瓶子的颈部，并且扭曲地进入瓶子内部，然后和底部的洞相连接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。因此无论你从哪儿往里边灌水，水都会从这个瓶子里流出来，没有人能够将它灌满。且它和球面不同 ，一只蜜蜂可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面。因此有种说法是：克莱因瓶是“永远装不满”的瓶子。

图源：微信公众号“唯物工作室”

图源：微信公众号“唯物工作室”

理论上讲，可以通过将两个莫比乌斯环的边缘粘合在一起来构造克莱因瓶，但实际上在三维空间中这样做是不可能的（你可以尝试），真正的克莱因瓶是一个在四维空间中才可能表现出来的曲面。在三维空间中，我们只是牺牲了部分特征，把它表现得似乎是自己和自己相交一样。事实上，它的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。因此，直到现在，克莱因瓶仍是菲力克斯·克莱因（德国数学家，于1882年发现并以他的名字命名的“克莱因瓶”）头脑中的“虚构之物”。

不过，有些科学家脑洞大开地将克莱因瓶的构造与宇宙的边界联系在一起，猜想宇宙是否就是一个大型的克莱因瓶？人类之所以没有办法到达宇宙的边际，是因为宇宙根本就没有边际，也没有内部与外部差异，就是一个不断循环的空间。因此，无论人类的科技再先进，也无法探索到宇宙的边际，飞得再远也只能绕回原点罢了。也许人类想要探索宇宙未解的奥秘，就需要制造出真正的克莱因瓶，解开四维空间的谜团，进入更高维的空间，才能揭开宇宙的面纱。

其实，无论是莫比乌斯带还是克莱因瓶，其实都是拓扑学领域的问题。

拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后，还能保持不变的一些性质的学科，是现代数学的主要领域之一。在拓扑学中，人们只考虑物体间的位置关系，而不考虑它们的形状和大小。

你一定听说过，咖啡杯和甜甜圈是同一类的表述，实际上在数学家的眼中，咖啡杯和甜甜圈在本质上的确是同类。这是为什么呢？

这里就要提到一个概念叫作同胚。我们把拓扑空间比作一个几何物体，同胚就是把物体连续延展和弯曲，使其成为一个新的物体。因为咖啡杯和甜甜圈都有一个“洞”的结构，所以一个足够柔软的甜甜圈，你可以把它想象成橡皮泥，一定可以捏成咖啡杯的形状。

著名的咖啡杯和甜甜圈动画 | wiki

不过，捏橡皮泥的游戏有一些规则：

1、不允许在橡皮泥上打洞；

2、不允许将橡皮泥上的两点捏合在一起（我们没法将球形的橡皮泥做成甜甜圈的形状）。

当我们说两个对象具有相同的拓扑或者拓扑等价（咖啡杯和甜甜圈具有相同的拓扑），这意味着，即使这两个对象在几何形状上有所不同，但它们在拓扑上完全等价。我们可以将橡皮泥拉伸成可以想象的任何奇怪形状，但在拓扑结构世界中，所有这些形状都完全相同。

再例如，圆和方形、三角形的形状，虽然大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的——从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构完全一样。而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个洞。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，而游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是不同的拓扑空间。

《拓扑趣变》：杯体不论单双把，男女叉腰要等价，单孔双孔不可变，拓扑变换出奇葩（刘夕庆绘，图源《知识就是力量》杂志2015年3月刊文章，刘夕庆《当绘画注入科学元素》）

《和平拓扑》：静态理想化动态，维和拓扑于世界，橄榄枝变和平鸽，行动至上信念在（刘夕庆绘，图源《知识就是力量》杂志2015年3月刊文章，刘夕庆《当绘画注入科学元素》）

以上这些都是三维空间可视化的拓扑对象，但拓扑的一个优势是，它允许我们使用同样的方法描述四维中存在的对象。就是我们前述的莫比乌斯环和克莱因瓶。

其实，在我们生活中，拓扑学有很多应用，例如设计者将传送带做成莫比乌斯环的形状，这样可以有效减缓传送带的老化；打印机的色带其实也是莫比乌斯环形状；一些建筑设计也将拓扑学应用其中。

澳门新濠天地酒店的拓扑解释，大楼的表面有3个环柄(绘图：顾险峰，图源：《知识就是力量》杂志2020年9月刊《北京大兴国际机场的几何探秘》）

当然，我们上述阐释的只是拓扑学的冰山一角，拓扑学还有很多分支学科：点集拓扑学、代数拓扑学、微分拓扑学、几何拓扑学。作为数学中一个非常重要的领域，不但推动着学科进步，也代表了数学学科魅力。

数学的魅力又岂止于莫比乌斯环和克莱因瓶的神奇！

“新世界七大奇迹”之首的北京大兴国际机场标志性的六芒星造型是数学黎曼几何在建筑中的大胆应用；看似简单的图形，却组成了千变万化图案的彭罗斯镶嵌；台球的击球方向、足球场上的射门与守门、跳高的起跳点，赛跑理论、投掷技术都是与数学紧密关联……

这些问题，《知识就是力量》杂志

为你揭秘！

不仅如此，这些迷人的数学问题可以作为2022数学新课标“综合与实践”学习主题，更可作为“跨学科主题学习”的主题（运动与数学、音乐与数学、绘画与数学、建筑与数学等），并且紧扣2022数学新课标核心素养的培育：会用数学的眼光观察现实世界、会用数学的思维思考现实世界、会用数学的语言表达现实世界，及11个核心概念：数感、量感、符号意识、推理意识、数据意识、模型意识、应用意识、创新意识、运算能力、几何直观、空间观念。

《知识就是力量》杂志中的数学，不再只是枯燥简单的数字运算，而是赋予建筑优雅形态的灵魂、音乐中感性与理性交融的音符、有着欣赏不完的风景的旅行……

参看文献：

[1]刘夕庆.当绘画注入了科学元素[J].知识就是力量,2015,No.508(03):62-65.

[2]顾险峰.北京大兴国际机场的几何探秘[J].知识就是力量,2020,No.574(09):6-9.

[3]邓怡超.披着魔术“外衣”的拓扑结构[J].知识就是力量,2021,No.584(07):10-11.

[4] 朱继银.一个实验带你感受不可定向的空间[J].知识就是力量,2022.

[5]微信公众号“陕西师范大学物信院”2022年1月19日文章《克莱因瓶 | 什么？永远装不满的瓶子？》

[6]https://zhuanlan.zhihu.com/p/214200642

[7]https://wiki.mbalib.com/wiki/%E6%8B%93%E6%89%91%E5%AD%A6

[8]教育部.义务教育科学课程标准(2022年版)[S].2022.